线性代数·1 行列式

考纲内容

1. 行列式的概念和基本性质
2. 行列式按行（列）展开定理

一、几种特别的行列式

1. 上/下三角形行列式

$$D=\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}& a_{22}\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

2. 对角行列式

$$\mathrm{\Lambda }=\left|\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$$

3. 副对角线行列式

$$D=\left|\begin{array}{ccc}0& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \dots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\dots a_{n1}$$

4. 范德蒙行列式

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{n\ge i>j\ge 1}(x_i-x_j)$$

二、行列式的性质

考纲摘要：了解行列式的概念，掌握行列式的性质

性质 1：行列式与它的转置行列式相等，即 $D=D^T$。

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

其中 $D^T$ 称作转置行列式。这条性质说明：凡是对行成立的性质，对列同样成立。

性质 2：对换行列式的两行（列），行列式变号。

性质 3：如果行列式有两行（列）完全相同或成比例，则行列式为 0。

性质 4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数 $k$，等于行列式乘以 $k$。

$$\left|\begin{array}{c}\cdots \\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ \cdots \end{array}\right|=k\left|\begin{array}{c}\cdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \cdots \end{array}\right|$$

注意

提公因子是**按行（列）**提的，因此 $|kA|=k^n|A|$（$n$ 阶方阵有 $n$ 行）， 而不是 $k|A|$。这是最高频的失分点之一。

性质 5：若某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式可以拆成两个行列式之和。

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

只有**一行（列）**是两数之和时才能这样拆，多行同时拆会得到 $2^k$ 个行列式。

性质 6：把行列式的某一行（列）乘以 $k$ 后加到另一行（列）上，行列式的值不变。这是化上三角计算行列式的理论依据。

三、行列式按行/列展开

考纲摘要：会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式

在 $n$ 阶行列式中，把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下的 n-1 阶行列式叫做 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$，而 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 称作代数余子式

行列式的值等于任一行/列各元素与其代数余子式的乘积的和，即：

$$D=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},i=1,2,\cdots ,n$$

这就是行列式的按行（列）展开定理。

与之配套的还有一条异乘变零定理：某一行（列）的元素与**另一行（列）**对应元素的代数余子式乘积之和为零。

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0(i\ne j)$$

两式合起来可写成 $\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=D{\delta }_{ij}$，这正是 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 的来源。

高频考法

题目若给出「求 $A_{11}+A_{12}+\cdots +A_{1n}$」这类代数余子式的线性组合， 标准做法是把原行列式对应行替换成组合系数，再算这个新行列式的值。

四、克拉默 (Cramer) 法则

若含有 $n$ 个变量的 $n$ 个线性方程组的系数行列式 $D\ne 0$，则方程组有唯一解：

$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\dots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$

其中 $D_j$ 是用方程组右端的常数项列替换 $D$ 中第 $j$ 列得到的行列式。

• 推论：若齐次线性方程组的系数行列式 $D\ne 0$，则方程组只有零解；若方程组有非零解，则必有 $D=0$。

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核心公式速查

$$\begin{gathered} |kA|=k^n|A|(A\text{ 为 }n\text{ 阶方阵}) \\ |AB|=|A|\cdot |B|,|A^{-1}|=|A{|}^{-1},|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1},|A^T|=|A| \end{gathered}$$

易错辨析

易错表述	正确理解
$|kA|=k|A|$	❌ 应为 $k^n|A|$，$n$ 为阶数
$|A+B|=|A|+|B|$	❌ 行列式对加法不可拆，只有单行是两数之和时才可拆
$AB=O\Rightarrow A=O$ 或 $B=O$	❌ 矩阵乘积为零不能推出因子为零
$A^2=A\Rightarrow A=E$ 或 $A=O$	❌ 幂等矩阵有很多种
$r(A+B)=r(A)+r(B)$	❌ 只有 $r(A+B)\le r(A)+r(B)$