线性代数·3 向量

考纲内容

• 向量组与线性组合

  • 向量的概念
  • 向量的线性组合与线性表示

• 向量组的线性相关性

  • 向量组的线性相关与线性无关
  • 向量组的极大线性无关组
  • 等价向量组

• 向量组的秩

  • 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

• 向量空间

  • 向量空间及其相关概念
  • $n$ 维向量空间的基变换和坐标变换
  • 过渡矩阵
  • 向量的内积
  • 线性无关向量组的正交规范化方法
  • 规范正交基
  • 正交矩阵及其性质

一、向量组及其线性表示

考纲摘要：

1. 理解 $n$ 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念
2. 理解向量组等价的概念

将若干个同维数的向量组成的集合叫做向量组，例如，这就是一个向量组：

$$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)$$

对于上述向量组 $A$，线性组合定义为：$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m$，$k_1,\cdots ,k_m$ 称作这个线性组合的系数

如果 $b=k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m$，则称向量 $b$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

向量 $b$ 可以由向量组 $A$ 线性表示的充要条件为：矩阵 $A$ 与矩阵 $(A,b)$ 的秩相等

现在设有另一个向量组 $B:b_1,b_2,\cdots b_l$，如果 $B$ 中的每个向量都可以由 $A$ 线性表示，则称向量组 $B$ 可以由 $A$ 线性表示 如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以相互线性表示，则称这两个向量组等价

向量组 $B$ 使用向量组 $A$ 线性表示可以写成以下形式：

$$(b_1,b_2,\cdots ,b_l)=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\left[\begin{array}{cccc}{k}_{11}& k_{12}& \cdots & k_{1l}\\ k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{2l}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k_{m1}& k_{m2}& \cdots & k_{ml}\end{array}\right]=AK$$

这里，$K$ 就称作这一线性表示的系数矩阵

• 向量组 $B$ 可以由向量组 $A$ 线性表示的充要条件是 $R(A)=R(A,B)$
• 向量组 $A,B$ 等价的充要条件是 $R(A)=R(B)=R(A,B)$
• 如果向量组 $B$ 可以由向量组 $A$ 线性表示，则 $R(B)\le R(A)$

二、向量组的线性相关性

考纲摘要：理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法

1. 线性相关的概念

对于向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$，如果存在不全为 0 的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$，使得：

$$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_n{a}_n=0$$

则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它是线性无关的，上述定义式也可以写成以下形式：

$$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]=Ak=0$$

显然，向量组 $A$ 线性相关的充要条件是 $R(A)<n$，线性无关的充要条件是 $R(A)=n$

2. 线性相关的性质

• 若向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 线性相关，则向量组 $B:a_1,a_2,\cdots ,a_n,a_{n+1}$ 线性相关。而如果 $B$ 线性无关，则 $A$ 线性无关

  线性相关的向量组多一个向量也线性相关，线性无关的向量组少一个向量也线性无关

• $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，$n<m$ 时一定线性相关

  线性相关的充要条件是向量组的秩小于向量个数而根据矩阵的秩的性质，向量组的秩 $R\le min\{m,n\}$，在 $n<m$ 时，$R\le n<m$，因此一定线性相关

• 若向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 线性无关，向量组 $B:a_1,a_2,\cdots ,b$ 线性相关，则 $b$ 可以由 $A$ 线性表示且表达式唯一

三、向量组的秩

1. 最大无关组与向量组的秩

考纲摘要：

1. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩
2. 理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系

设有向量组 $A$，如果在 $A$ 中可以选出 $r$ 个向量 $A_0:a_1,a_2,\cdots ,a_r$，满足：

• 向量组 $A_0$ 线性无关
• 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果有的话）都线性相关

那么向量组 $A_0$ 被称作是向量组 $A$ 的一个最大无关组，最大无关组所含的向量个数称作向量组的秩，记作 $R_A$ 最大无关组还可以按照如下条件定义：

• 向量组 $A_0$ 线性无关
• 向量组 $A$ 的任意向量都可以由 $A_0$ 线性表示

定理：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩

考虑矩阵的秩的定义：设矩阵 $A$ 中有一个不为 0 的 $r$ 阶子式，且所有 $r+1$ 子式（如果存在）均为 0，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ 如果 $D_r$ 是 $A$ 的一个最高阶非零子式，则 $D_r$ 所在的几列就是 $A$ 的列向量组的最大无关组，所在的几行就是行向量组的最大无关组也就是说，当我们将矩阵 $A$ 化作行阶梯形矩阵后，非 0 行的首非 0 元所在列就是其列向量组的最大无关组

1. 最大无关组求解示例

求解以下矩阵的列向量组的最大无关组，并求出其他列使用该最大无关组的线性表示：

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& -1& -1& 1& 2\\ 1& 1& -2& 1& 4\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right]$$

化作行阶梯形矩阵：

$$A\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& 1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

则 $A$ 的列向量组的最大无关组就是 $a_1,a_2,a_4$。进一步将其化作行最简型矩阵

$$A\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

由于只进行了行变换，列向量之间的线性关系是不变的，因此：

$$a_3=-a_1-a_2,a_5=4a_1+3a_2-3a_4$$

四、向量空间

了解 $n$ 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念

1. 与向量空间有关的诸定义

• 向量空间的定义：设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法与数乘运算封闭，则称集合 $V$ 是向量空间

• 由向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 生成的向量空间为：

$$L=\{x={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_m{a}_m|{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}\}$$

• 设有向量空间 $V_1,V_2$，若 $V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间

  注意：$V_1$ 并不只是 $V_2$ 这一向量的集合的子集， $V_1$ 也需要满足对于向量的加法与数乘运算的封闭

• 设 $V$ 是向量空间，如果 $r$ 个向量 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_r\in V$ 线性无关且 $V$ 中的所有向量均能由其线性表示则称向量组 $A$ 是 $V$ 的一个基，$r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间 显然，任何 $n$ 个线性无关的 $n$ 维向量都可以是向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个基

• 如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$，那么 $V$ 中任意向量 $x$ 可以唯一表示为 $x={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_r{a}_r$ ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$ 就称作向量 $x$ 在基 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 中的坐标 如果取 ${\mathbb{R}}^n$ 中单位坐标向量组 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 为基，则这个基叫做 ${\mathbb{R}}^n$ 的自然基

• 基扩张定理：向量空间 $V$ 中任何一个线性无关的向量组都可以扩充为 $V$ 的一个基。

2. 基变换公式和坐标变换公式

考纲摘要：了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中取两个基：$A:a_1,\cdots ,a_n,B:b_1,\cdots ,b_n$

• 用 $A$ 表示 $B$ 的表示式称为基变换公式，也就是：$(b_1,\cdots ,b_n)=(a_1,\cdots ,a_n)P$，$P$ 称作 $A$ 到 $B$ 的过渡矩阵。
  • 计算方法：若 $A,B$ 是由基向量作为列构成的矩阵，则 $P=A^{-1}B$。
• 两个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式

对于坐标变换公式，设向量 $x$ 在 $A,B$ 两个基中的坐标分别为 $(y_1,\cdots ,y_n),(z_1,\cdots ,z_n)$，则有：

$$x=A(y_1,\cdots ,y_n{)}^T=B(z_1,\cdots ,z_n{)}^T$$

则有：

$$(z_1,\cdots ,z_n{)}^T=B^{-1}A(y_1,\cdots ,y_n{)}^T=P^{-1}(y_1,\cdots ,y_n{)}^T$$

这就是从 $A$ 基中的坐标到 $B$ 基中的坐标的坐标变换公式

五、正交基

考纲摘要：

1. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。
2. 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质

1. 向量的内积和长度

设有两个 $n$ 维向量 $x=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T,y=(y_1,\cdots ,y_n{)}^T$，则 $[x,y]=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$ 称作向量 $x,y$ 的内积 上述情况中，$x,y$ 都是列向量，因此内积也可以表示为：$[x,y]=x^{T}y$

内积的性质：

• $[x,y]=[y,x]$
• $[\lambda x,y]=\lambda [x,y]$
• $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
• $x=0$ 时，$[x,x]=0$，否则 $[x,x]>0$

根据这些性质可以证明施瓦茨不等式：$[x,y{]}^2\le [x,x][y,y]$

$n$ 维向量 $x$ 的长度（范数）的定义：

$$\parallel x\parallel =\sqrt{[x,x]}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

具有以下性质：

• 非负性：$x\ne 0$ 时，$\parallel x\parallel >0$，$x=0$ 时，$\parallel x\parallel =0$
• 齐次性：$\parallel \lambda x\parallel =|\lambda |\parallel x\parallel$

$\parallel x\parallel =1$ 时，$x$ 称作单位向量，$x=\frac{a}{\parallel a\parallel }$ 就是一个单位向量，这个由 $a$ 变换为单位向量 $x$ 的过程称作单位化

$n$ 维向量 $x,y$ 的夹角的定义：

$$\theta =\arccos \frac{[x,y]}{\parallel x\parallel \parallel y\parallel }$$

$[x,y]=0$ 时，称 $x,y$ 正交

2. 正交矩阵

一些定义如下：

• 设有 $n$ 维向量组 $A:a_1,\cdots ,a_r$，$\mathrm{\forall }i,j\in \{1,\cdots ,r\},i\ne j,[a_i,a_j]=0$（也就是每个向量都两两正交），则称之为正交向量组，它是线性无关的
• 如果正交向量组 $e_1,\cdots ,e_r$ 是正交向量组，且 $\parallel e_i\parallel =1,i=1,\cdots ,r$，同时它是向量空间 $V\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 的一个基，则称它是 $V$ 的一个标准正交基

设 $a_1,\cdots ,a_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，要求 $V$ 的一个标准正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量 $e_1,\cdots ,e_r$，使得 $a_1,\cdots ,a_r$ 与 $e_1,\cdots e_r$ 等价，这个问题就称作将 $a_1,\cdots ,a_r$ 正交化

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以下是一种求解此问题的方法，称作施密特正交法，经过以下变换后，即可得到一组两两正交的向量 $b_1,\cdots ,b_r$：

$$\begin{array}{rl}& b_1=a_1\\ & b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}{b}_1\\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}{b}_1-\frac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}{b}_2-\cdots -\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}{b}_{r-1}\end{array}$$

当然，我们可以试着为上述施密特正交法取得一个通项的形式：

$$\begin{array}{rl}& b_1=a_1\\ & b_i=a_i-\sum _{j=1}^{i-1}\frac{[b_j,a_i]}{[b_j,b_j]}{b}_j,i=2,\cdots ,r\end{array}$$

随后对 $b_1,\cdots ,b_r$ 进行单位化，即可得到这样的标准正交基 $e_1,\cdots ,e_r$：

$$e_1=\frac{1}{\parallel b_1\parallel }{b}_1,e_2=\frac{1}{\parallel b_2\parallel }{b}_2,\cdots ,e_r=\frac{1}{\parallel b_r\parallel }{b}_r$$

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如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{T}A=E$（也就是说，$A^{-1}=A^T$），则 $A$ 称作正交矩阵，它有以下性质：

• 方阵 $A$ 是正交矩阵的充要条件是它的行/列向量组是都是单位向量且两两正交
• 如果 $A$ 是正交矩阵，则 $A^{-1}=A^T$ 也是正交矩阵，且 $|A|=\pm 1$
• 如果 $A,B$ 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵

如果 $P$ 是正交矩阵，则线性变换 $y=Px$ 称作正交变换，其性质有：$\parallel y\parallel =\parallel x\parallel$

题目整理

1. （6）$n$ 维列向量组 ${\alpha }_1,\cdots ,a_{n-1}$ 线性无关，且与非零向量 $\beta$ 正交，证明 $a_1,\cdots ,a_{n-1},\beta$ 线性无关
2. （12）设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为 $n$ 维列向量，其中 ${\alpha }_1\ne 0$，且 $A{\alpha }_1={\alpha }_1,A{\alpha }_2={\alpha }_1+{\alpha }_2,A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$，证明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关