线性代数·2 矩阵

考纲内容

• 矩阵基础概念和运算
  • 矩阵的概念
  • 矩阵的线性运算
  • 矩阵的乘法
  • 矩阵的转置
  • 分块矩阵及其运算
• 方阵及其运算
  • 方阵的幂
  • 方阵乘积的行列式
  • 逆矩阵的概念和性质
  • 矩阵可逆的充分必要条件
  • 伴随矩阵
• 矩阵变换与等价
  • 矩阵的初等变换
  • 初等矩阵
  • 矩阵的秩
  • 矩阵的等价

一、矩阵基础概念和运算

考纲摘要：掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律

1. 矩阵的线性运算

1. 矩阵的加法

$$A+B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]$$

性质：

• 交换律：$A+B=B+A$
• 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

2. 矩阵的数乘

$$\lambda A=\left[\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right]$$

性质：

• $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
• $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
• $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

2. 矩阵的乘法

1. 矩阵乘法的定义

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1j}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2j}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{ij}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1k}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2k}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{j1}& b_{j2}& \cdots & b_{jk}\end{array}\right],AB=\left[\begin{array}{cccc}\sum _{t=1}^j{a}_{1t}{b}_{t1}& \sum _{t=1}^j{a}_{1t}{b}_{t2}& \cdots & \sum _{t=1}^j{a}_{1t}{b}_{tk}\\ \sum _{t=1}^j{a}_{2t}{b}_{t1}& \sum _{t=1}^j{a}_{2t}{b}_{t2}& \cdots & \sum _{t=1}^j{a}_{2t}{b}_{tk}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \sum _{t=1}^j{a}_{it}{b}_{t1}& \sum _{t=1}^j{a}_{it}{b}_{t2}& \cdots & \sum _{t=1}^j{a}_{it}{b}_{tk}\end{array}\right](c_{xy}=\sum _{t=1}^j{a}_{xt}{b}_{ty})$$

简单来说，矩阵乘法就是前行乘后列，因此前者的列数需要等于后者的行数，而最终乘出来的矩阵继承前者的行数和后者的列数

也可以利用矩阵分块法的形式来表示：

$$AB=\left[\begin{array}{c}{a}_1^T\\ a_2^T\\ ⋮\\ a_m^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1^T{b}_1& a_1^T{b}_2& \cdots & a_1^T{b}_n\\ a_2^T{b}_1& a_2^T{b}_2& \cdots & a_2^T{b}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_m^T{b}_1& a_m^T{b}_2& \cdots & a_m^T{b}_n\end{array}\right]$$

2. 矩阵乘法的性质

• 矩阵乘法一般不满足交换律，一般情况下，$\mathbf{AB}\ne \mathbf{BA}$
• 结合律：$(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})$
• 数乘的结合律：$\lambda (\mathbf{AB})=(\lambda \mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{B})$
• 分配律：$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB}+\mathbf{AC},(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{BA}+\mathbf{CA}$

3. 矩阵的转置

1. 矩阵转置的定义

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1c}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2c}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{r1}& a_{r2}& \cdots & a_{rc}\end{array}\right],A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{r1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{r2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1c}& a_{2c}& \cdots & a_{rc}\end{array}\right]$$

2. 矩阵转置的性质

• $({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}$
• $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T$
• $(\lambda \mathbf{A}{)}^T=\lambda A^T$
• $(\mathbf{AB}{)}^T={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T$

如果 $A^T=A$，则 $A$ 是一个对称矩阵

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4. 矩阵分块法

考纲摘要：了解分块矩阵及其运算

1. 分块矩阵的转置

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& \cdots & A_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ A_{s1}& \cdots & A_{sr}\end{array}\right],A^T=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}^T& \cdots & A_{s1}^T\\ ⋮& & ⋮\\ A_{1r}^T& \cdots & A_{sr}^T\end{array}\right]$$

2. 分块对角矩阵

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& & & O\\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ O& & & A_s\end{array}\right]$$

其中，$A_i$ 是方阵。性质：

• $|A|=|A_1||A_2|\cdots |A_n|$
• 分块对角矩阵的逆与转置，都对每个子块分别取逆／转置：

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1^{-1}& & & O\\ & A_2^{-1}& & \\ & & \ddots & \\ O& & & A_s^{-1}\end{array}\right],A^T=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1^T& & & O\\ & A_2^T& & \\ & & \ddots & \\ O& & & A_s^T\end{array}\right]$$

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5. 特殊矩阵汇总

考纲摘要：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质

• 单位矩阵 ($E$)：主对角线全为 1，其余为 0。
• 数量矩阵 ($kE$)：对角元全为 $k$。
• 对角矩阵 ($\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$)：只有对角线可能有非零元。
• 对称矩阵：$A^T=A$。
• 反对称矩阵：$A^T=-A$。
  • 主对角元全为 0。
  • 若阶数 $n$ 为奇数，则 $|A|=0$。
• 正交矩阵：$A^{T}A=E$（或 $A{A}^T=E$）。
  • $A^T=A^{-1}$。
  • $|A|=\pm 1$。
  • 行（列）向量组是标准正交向量组。

6. 矩阵的迹 (Trace)

方阵 $A$ 的对角元素之和称为迹，记作 $\text{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$。

• $\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$
• $\text{tr}(kA)=k\text{tr}(A)$
• $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$
• $\text{tr}(A)=\sum {\lambda }_i$（特征值之和）

二、方阵及其运算

考纲摘要：了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

1. 方阵的幂

$A^k$ 表示 $k$ 个 $A$ 相乘，规定 $A^0=E$。满足：

• $A^m{A}^n=A^{m+n}$，$(A^m{)}^n=A^{mn}$
• 一般地 $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$，仅当 $AB=BA$ 时才成立

2. 方阵的行列式

方阵 $A$ 的行列式记作 $detA$ 或 $|A|$，性质如下：

• $|A|=|A^T|$
• $|\lambda A|={\lambda }^n|A|$，其中 $n$ 是 $A$ 的阶数
• $|AB|=|A||B|$

3. 逆矩阵

考纲摘要：理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

对于 $n$ 阶矩阵 $A$，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$，使得 $AB=BA=E$，则称 $B$ 与 $A$ 互为逆矩阵，$B$ 可以记作 $A^{-1}$ 逆矩阵的计算方法：

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$

其中，$A^{\ast }$ 被称作伴随矩阵，伴随矩阵的求法为：将矩阵的每一项替换成该项的代数余子式，然后对矩阵进行转置 显然，一个 $n$ 阶矩阵具有逆矩阵的充要条件为 $|A|\ne 0$，如果 $|A|=0$，则称之为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵

2. 逆矩阵的性质

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• $(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

三、矩阵的变换与等价

考纲摘要：理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法

1. 矩阵的初等变换与等价

矩阵有三种初等行变换

• 对换 $i,j$ 两行，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$
• 将第 $i$ 行乘以非零数 $k$，记作 $r_i\times k$
• 将第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行上去，记作 $r_j+k{r}_i$ 将上述的行换成列，就是初等列变换，初等行变换与初等列变换统称为初等变换
• 如果矩阵 $A$ 经过有限次初等行变换可以变成矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行等价，记作 $A\stackrel{r}{\sim }B$
• 如果矩阵 $A$ 经过有限次初等列变换可以变成矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 列等价，记作 $A\stackrel{c}{\sim }B$
• 如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换可以变成矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，记作 $A\sim B$ 矩阵的等价关系具有以下性质：
• 反身性：$A\sim A$
• 对称性：$A\sim B$ 则 $B\sim A$
• 传递性：$A\sim B,B\sim C$ 则 $A\sim C$

2. 标准形矩阵

1. 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵的定义：

• 非 0 行在 0 行的上面
• 非 0 行的首个非 0 元所在列的上一行的首个非 0 元的所在列的右侧如果在此基础上：
• 非 0 行的首个非 0 元为 1
• 每一个非 0 行的首个非 0 元所在列的其他元都为 0 则称之为行最简形矩阵，一个行最简形矩阵的例子如下：

$$B_5=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

2. 标准形矩阵

对行最简型矩阵进行一些初等列变换，可以将其变为更简单的标准形，上面的矩阵可以化作标准型：

$$B_5=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\underset{c_5-4c_1-3c_2+3c_3}{\overset{\begin{array}{c}{c}_3\leftrightarrow c_4\\ c_4+c_1+c_2\end{array}}{\sim }}\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=F$$

对于任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，都可以经过有限次初等变换将其化为标准形

$$F={\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right]}_{m\times n}$$

这个标准形由 $m,n,r$ 三个数完全确定，其中，$r$ 就是行阶梯形矩阵中非 0 行的个数

3. 矩阵初等变换的性质

1. 矩阵初等变换的基本性质

设 $A,B$ 均为 $m\times n$ 矩阵，则有：

• $A\stackrel{r}{\sim }B$ 的充要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $PA=B$
• $A\stackrel{c}{\sim }B$ 的充要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $AQ=B$
• $A\sim B$ 的充要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 与 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $PAQ=B$

2. 初等矩阵

初等矩阵的定义：由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵，三种初等矩阵：

• $E(i,j)$ 将 $E$ 的第 $i,j$ 两行/列对换
• E(i,j)A 相当于对 $A$ 做变换 $r_i\leftrightarrow r_j$
• AE(i,j) 相当于对 $A$ 做变换 $c_i\leftrightarrow c_j$
• E(i(k)) 将 $E$ 的第 $i$ 行/列乘以 $k$
• E(i(k))A 相当于对 $A$ 做变换 $r_i\times k$
• AE(i(k)) 相当于对 $A$ 做变换 $c_i\times k$
• E(ij(k)) 将 $E$ 的第 $j$ 行乘以 $k$ 加到第 $i$ 行上（将 $E$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ 加到第 $j$ 列上）
• E(ij(k))A 相当于对 $A$ 做变换 $r_i+k{r}_j$
• AE(ij(k)) 相当于对 $A$ 做变换 $c_j+k{c}_i$

$$E(i,j)=\left[\begin{array}{c}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & 0& & \cdots & & 1\\ & & & & 1\\ & & & ⋮& & \ddots & & ⋮\\ & & & & & & 1\\ & & & 1& & \cdots & & 0\\ & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1\end{array}\right],E(i(k))=\left[\begin{array}{c}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & k\\ & & & & 1\\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1\end{array}\right],E(ij(k))=\left[\begin{array}{c}1\\ & \ddots \\ & & 1& \cdots & k\\ & & & \ddots & ⋮\\ & & & & 1\\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$$

初等矩阵的逆矩阵：

• $E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$
• $E(i(k){)}^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))$
• $E(ij(k){)}^{-1}=E(ij(-k))$

3. 利用矩阵的初等变换求逆矩阵

如果需要求方阵 $A_n$ 的逆矩阵，只需对以下矩阵：

$$\left[\begin{array}{cc}{A}_n& E_n\end{array}\right]$$

进行初等行变换，化成以下形式：

$$\left[\begin{array}{cc}{E}_n& B_n\end{array}\right]$$

则 $B_n=A_n^{-1}$

举例，求解 $\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 3& 0& -2\\ -2& 3& 0\end{array}\right]$ 的逆矩阵。过程如下：

$$\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 3& 0& -2& 0& 1& 0\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_2+\frac{3}{2}{r}_3}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 0& \frac{9}{2}& -2& 0& 1& \frac{3}{2}\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_2+\frac{9}{4}{r}_1}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{4}& \frac{9}{4}& 1& \frac{3}{2}\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_2\times 4}{\sim }$$$$\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_1-r_2}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 0& -8& -4& -6\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_1\times -\frac{1}{2}}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 4& 2& 3\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_3-3r_1}{\sim }$$$$\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 4& 2& 3\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\\ -2& 0& 0& -12& -6& -8\end{array}\right]\stackrel{r_3\times -\frac{1}{2}}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 4& 2& 3\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\\ 1& 0& 0& 6& 3& 4\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 6& 3& 4\\ 0& 1& 0& 4& 2& 3\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\end{array}\right]$$

因此，$\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 3& 0& -2\\ -2& 3& 0\end{array}\right]$ 的逆矩阵就是 $\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ 4& 2& 3\\ 9& 4& 6\end{array}\right]$

4. 矩阵的秩

设矩阵 $A$ 中有一个不为 0 的 $r$ 阶子式，且所有 $r+1$ 子式（如果存在）均为 0，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ 秩的计算方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩性质：

• $R(A^T)=R(A)$
• 若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $0\le R(A)\le min\{m,n\}$
• 若 $A\sim B$，则 $R(A)=R(B)$
• 若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PAQ)=R(A)$
• $max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$
• $R(A+B)\le R(A)+R(B)$
• 若 $A_{m\times n}{B}_{n\times l}=O$，则 $R(A)+R(B)\le n$
• $R(A^{T}A)=R(A{A}^T)=R(A)$
• 伴随矩阵的秩 $R(A^{\ast })$：
• 若 $R(A)=n$，则 $R(A^{\ast })=n$
• 若 $R(A)=n-1$，则 $R(A^{\ast })=1$
• 若 $R(A)<n-1$，则 $R(A^{\ast })=0$

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核心公式速查

$$A{A}^{\ast }=|A|E,(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1},(AB{)}^T=B^T{A}^{T}r(AB)\le min(r(A),r(B)),AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$$

大题常用方法

题型	方法
求逆矩阵	$(A\mid E)\to (E\mid A^{-1})$，或 $A^{-1}=A^{\ast }/|A|$
求基础解系	化行最简形 → 自由变量赋值
正定性判定	特征值全正，或顺序主子式全正

易错辨析

易错表述	正确理解
"特征值相同则相似"	❌ 还需要有足够的线性无关特征向量
"可逆矩阵一定正定"	❌ 可逆只要 $|A|\ne 0$，正定要求特征值全正
"正交矩阵行列式 $=1$"	❌ 正交矩阵行列式为 $\pm 1$
"实对称矩阵特征值可能为复数"	❌ 实对称矩阵特征值全为实数

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