线性代数·5 矩阵的特征值和特征向量

考纲内容

• 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
• 相似变换、相似矩阵的概念及性质
• 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵
• 实对称矩阵的特征值
• 特征向量及其相似对角矩阵

一、方阵的特征值与特征向量

考纲摘要：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量

1. 特征值、特征向量及相关诸概念的定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在数 $\lambda$ 和非零列向量 $x$，使得 $Ax=\lambda x$，那么称 $\lambda$ 为方阵 $A$ 的一个特征值，$x$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量 此定义式也可以写成：$(A-\lambda E)x=0$，因此，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$x$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量的充要条件为：$|A-\lambda E|=0$

• 推论1：假设 $x$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，那么对于任意的数 $k\ne 0$，kx 也是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量

• 推论2：假设 $x_1,x_2$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，且 $x_1+x_2\ne 0$，那么 $x_1+x_2$ 也是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & ...& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}-\lambda \end{array}\right|$$

称为 $A$ 的特征多项式，记作 $f(\lambda )$，称以 $\lambda$ 为未知量的方程 $|A-\lambda E|=0$ 为 $A$ 的特征方程

2. 特征值与特征向量的求法

求 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值与特征向量的步骤如下：

1. 写出方阵 $A$ 的特征多项式：$f(\lambda )=|A-\lambda E|$
2. 求 $A$ 的全部特征值，也即 $f(\lambda )=0$ 的全部根
3. 对每个不同的 ${\lambda }_i,i\in \{1,\cdots ,s\},s\le n$，依次求解齐次线性方程组 $(A-{\lambda }_{i}E)x=0$，得到 $s$ 个基础解系 ${\eta }_{i_1},\cdots ,{\eta }_{i_r}$
4. $k_1{\eta }_{i_1}+k_2{\eta }_{i_2}+...+k_r{\eta }_{i_r}$ 就是 $A$ 的属于 ${\lambda }_i$ 的全部特征向量

3. 特征值与特征向量的性质

1. 单个特征值的性质

倘若 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值，那么

• ${\lambda }^m$ 是 $A^m$ 的特征值（$m\in \mathbb{N}$）
• 如果 $A$ 可逆，那么 $\lambda \ne 0$，且 $1/\lambda$ 是 $A^{-1}$ 的特征值
• 多项式 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda )$

2. 全部特征值的性质

对于 $n$ 阶方阵 $A$，其主对角线上个元素之和称为 $A$ 的迹，记作 $\mathrm{tr}A$，也就是：

$$\mathrm{tr}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

假设 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的全部特征值，那么：

• $f(\lambda )=|\lambda E-A|={\lambda }^n-{\lambda }^{n-1}\sum _{i=1}^n{a}_{ii}+...+(-1{)}^m|A|$

• ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+\cdots +a_{nn}$

• ${\lambda }_1\cdots {\lambda }_n=|A|$

• $A$ 的非零特征值的个数为 $R(A)$

假设 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$ 是方阵 $A$ 的互不相同的特征值，$a_1,\cdots ,a_m$ 是其对应的特征向量，那么这个向量组线性无关

推论：一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量，把多个不同特征值的、每组都线性无关的特征向量并成一个新的大向量组，这个向量组也是线性无关的。

3. 秩 1 矩阵的特征值 (考研高频)

若 $A=\alpha {\beta }^T$ (其中 $\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维非零列向量)，则：

• $R(A)=1$。
• 特征值为 ${\lambda }_1=\mathrm{tr}(A)={\alpha }^T\beta =\sum a_i{b}_i$，以及 ${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$。
• $A$ 可对角化的充要条件是 $\mathrm{tr}(A)\ne 0$ (即 ${\alpha }^T\beta \ne 0$)。

二、相似矩阵

考纲摘要：理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

1. 相似矩阵

如果 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵，如果存在一个 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，那么称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$

矩阵相似满足以下关系：

• 反身性：$A\sim A$
• 对称性：若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
• 传递性：若 $A\sim B,B\sim C$，那么 $A\sim C$

相似矩阵有以下性质：

• $A,B$ 具有相同的特征多项式、特征值、秩，并且迹也相等。
• $|A|=|B|$，且 $A^m\sim B^m,m\in \mathbb{N}$
• 当 $A,B$ 可逆时，$A^{-1}\sim B^{-1}$
• 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵 $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$ 相似，则 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值

1. $n$ 阶矩阵可对角化的条件

如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可以相似于一个 $n$ 阶对角矩阵 $\mathrm{\Lambda }$，那么就称 $A$ 可以对角化，$\mathrm{\Lambda }$ 就称为 $A$ 的相似标准型。假如方阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，那么它便与对角矩阵 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$ 相似

可对角化的充要条件的几种表述：

• $A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
• 对 $A$ 的每个 $n_i$ 重特征值 ${\lambda }_i$，其线性无关的特征向量个数等于其重数 $n_i$。
• 代数重数与几何重数：
  • 代数重数 ($k_i$)：特征值作为特征方程根的重数。
  • 几何重数 ($d_i$)：特征值对应的线性无关特征向量的最大个数，即 $d_i=n-R(A-{\lambda }_{i}E)$。
  • 定理：$1\le d_i\le k_i$。$A$ 可对角化的充要条件是对于所有特征值，$d_i=k_i$。

2. 对角矩阵的求法

假设 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $x_1,\cdots ,x_n$，其对应的特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 对于矩阵 $X=(x_1,\cdots ,x_n)$，根据特征值与特征向量的定义，有 $AX=({\lambda }_1{x}_1,\cdots ,{\lambda }_n{x}_n)$ 显然，设有对角矩阵 $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$，则 $X\mathrm{\Lambda }=({\lambda }_1{x}_1,\cdots ,{\lambda }_n{x}_n)=AX$ 由于 $x_1,\cdots ,x_n$ 线性无关，则 $X$ 可逆，则 $X^{-1}AX=\mathrm{\Lambda }$，这就是对角矩阵的求法

3. 矩阵对角化例题

设有以下矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ -4& 1& 3\end{array}\right]$$

判定 $A$ 是否可对角化，若可以，求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\mathrm{\Lambda }$，使得 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$

首先，求解 $A$ 的特征值：

$$|A-\lambda E|=A=\left|\begin{array}{ccc}-2-\lambda & 1& 1\\ 0& 2-\lambda & 0\\ -4& 1& 3-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )[4-(2+\lambda )(3-\lambda )]=0$$

解出 $A$ 的特征值为：${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2={\lambda }_3=2$，然后求解 $A$ 的特征向量

首先，求解 $\lambda =-1$ 时的特征向量，解以下方程：

$$\begin{gathered} (A+E)x=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 3& 0\\ -4& 1& 2\end{array}\right]x=0, \\ \left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 3& 0\\ -4& 1& 2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

取特征向量为 $p_1=(1,0,1{)}^T$，然后求解 $\lambda =2$ 时的特征向量，对应的系数矩阵及其行阶梯形矩阵如下：

$$\left[\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ -4& 1& 1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

则可以取特征向量 $p_2=(0,1,-1{)}^T,p_3=(1,0,4{)}^T$，显然，$p_1,p_2,p_3$ 线性无关，因此，$A$ 是可对角化的，而所求的 $P,\mathrm{\Lambda }$ 正是：

$$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& -1& 4\end{array}\right],\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}(-1,2,2)$$

三、对称矩阵的对角化

考纲摘要：掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

1. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质

• 对称矩阵的特征值是实数
• 设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是对称矩阵 $A$ 的两个不同特征值，$p_1,p_2$ 是与之对应的特征向量，则 $p_1,p_2$ 正交（对应于不同特征值的特征向量正交，对于同一特征值的特征向量，即使线性无关，也未必正交）
• 设 $A$ 是 $n$ 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=P^{T}AP=\mathrm{\Lambda }$，其中 $\mathrm{\Lambda }$ 是以 $A$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角矩阵
• 设 $A$ 是 $n$ 阶对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的 $k$ 重根，则矩阵 $A-\lambda E$ 的秩为 n-k，$\lambda$ 有 $k$ 个线性无关的特征向量

2. 对称矩阵对角化的步骤

1. 求出 $A$ 的全部互不相等的特征值 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_s$，重数依次为 $k_1,\cdots ,k_s$（$\sum k_i=n$）
2. 对每个 $k_i$ 重特征值 ${\lambda }_i$，求方程 $(A-\lambda E)x=0$ 的基础解系，得到 $k_i$ 个线性无关的特征向量，并将它们正交化、单位化
3. 把第 2 步中得到的所有单位特征向量构成正交矩阵 $P$，计算 $P^{-1}AP=P^{T}AP=\mathrm{\Lambda }$ 即可

题目整理

1. （4）设 $A$ 为三阶矩阵，方程组 $AX=0$ 的基础解系为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，又 $\lambda =-2$ 为 $A$ 的一个特征值，其对应的特征向量为 ${\alpha }_3$，下列向量中是 $A$ 的特征向量的是（）A. ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ B. $3{\alpha }_3-{\alpha }_1$ C. ${\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3$ D. $2{\alpha }_1-3{\alpha }_2$
2. （7）设 $\alpha ,\beta$ 为四维非零列向量，且 $\alpha \perp \beta$，令 $A=\alpha {\beta }^T$，则 $A$ 的线性无关特征向量个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. （8）设 $A,B$ 为正定矩阵，$C$ 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是（）A. $C^{T}AC$ B. $A^{-1}+B^{-1}$ C. $A^{\ast }+B^{\ast }$ D. A-B
4. （填空3）设 $A$ 为三阶矩阵，$A$ 的各行元素之和为 4，则 $A$ 有特征值____，对应的特征向量为____
5. （9）设向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T$，其中 $a_1\ne 0,A=\alpha {\alpha }^T$ (1) 求方程组 $AX=0$ 的解 (2) 求 $A$ 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量
6. （12）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=3$，其对应的特征向量为 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right],{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right]$，向量 $\beta =\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right]$，求 $A^n\beta$
7. （16）设 $A$ 是三阶实对称矩阵，$r(A)=1,A^2-3A=O$，设 $(1,1,-1{)}^T$ 为 $A$ 的非零特征值对应的特征向量 (1) 求 $A$ 的特征值 (2) 求矩阵 $A$
8. （17）设三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=8,{\lambda }_2={\lambda }_3=2$，矩阵 $A$ 的属于特征值 ${\lambda }_1=8$ 的特征向量为 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ k\\ 1\end{array}\right]$，属于特征值 ${\lambda }_2={\lambda }_3=2$ 的特征向量为 ${\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，求属于 ${\lambda }_2={\lambda }_3=2$ 的另一个特征向量
9. （18）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $(aE-A)(bE-A)=O$，且 $a\ne b$，证明：$A$ 可对角化

番外：盛金公式

在需要求解特征值的题目中，可能需要求解一元三次方程，如果没办法通过分解公因式的方法来求解方程，则可以使用盛金公式来进行求解。

对于以下一元三次方程：

$$a{X}^3+b{X}^2+cX+d=0$$

1. 盛金判别法

首先要提出以下重根判别式：

$$A=\left|\begin{array}{cc}b& 3a\\ c& b\end{array}\right|,B=\left|\begin{array}{cc}b& 3a\\ 3d& c\end{array}\right|,C=\left|\begin{array}{cc}c& 3d\\ b& c\end{array}\right|,\mathrm{\Delta }=B^2-4AC$$

根据 $\mathrm{\Delta }$ 的情况，可以判别方程的根的情况：

• $A=B=0$ 时，有 3 个相同实根
• $\mathrm{\Delta }>0$ 时，有 1 个实根和 1 对共轭的复数根
• $\mathrm{\Delta }=0$ 时，有 3 个实根，其中有两个根是相等的
• $\mathrm{\Delta }<0$ 时，有 3 个不相同的实根

2. 盛金求根公式

1. 盛金公式 1: $A=B=0$ 时

$$X_1=X_2=X_3=\frac{-b}{3a}=\frac{-c}{b}=\frac{-3d}{c}$$

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2. 盛金公式 2: $\mathrm{\Delta }>0$ 时

$$X_1=\frac{-b-(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})}{3a},X_{2,3}=\frac{-b+\frac{1}{2}(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})\pm \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2})\mathrm{i}}{3a}$$

其中，$Y_1,Y_2$ 的计算公式如下：

$$Y_{1,2}=Ab+3a(\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2})$$

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3. 盛金公式 3: $\mathrm{\Delta }=0$ 时

$$X_1=-\frac{b}{a}+\frac{B}{A},X_2=X_3=-\frac{A}{2B}$$

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4. 盛金公式 4: $\mathrm{\Delta }<0$ 时

$$X_1=\frac{-b-2\sqrt{A}\cos \frac{\theta }{3}}{3a},X_{2,3}=\frac{-b+\sqrt{A}(\cos \frac{\theta }{3}\pm \sqrt{3}\sin \frac{\theta }{3})}{3a}$$

其中，$\theta$ 的计算公式如下：

$$T=\frac{\left|\begin{array}{cc}A& 3a\\ B& 2b\end{array}\right|}{2\sqrt{A^3}},\theta =\arccos T$$

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3. 盛金定理

• 盛金定理 1 ~ 3：当 $A=B=0$ 时
  • 若 $b=0$ ，则必定有 $c=d=0$（此时，方程的 3 个实根均为 $0$，盛金公式 1 仍成立）
  • 若 $b\ne 0$，则必定有 $c\ne 0$（此时，适用盛金公式1解题）
  • 必定有 $C=0$ （此时，适用盛金公式1解题）
• 盛金定理 4：当 $A=0$ 时，若 $B\ne 0$ ，则必定有 $\mathrm{\Delta }>0$（此时，适用盛金公式2解题）。
• 盛金定理 5：当 $A<0$ 时，则必定有 $\mathrm{\Delta }>0$（此时，适用盛金公式2解题）。
• 盛金定理 6 ~ 7：当 $\mathrm{\Delta }=0$ 时
  • 若 $A=0$，则必定有 $B=0$（此时，适用盛金公式1解题）
  • 若 $B\ne 0$ ，盛金公式 3 一定不存在 $A\le 0$ 的值（此时，适用盛金公式3解题）
• 盛金定理 8 ~ 9：当 $\mathrm{\Delta }<0$ 时（此时，适用盛金公式4解题）
  • 盛金公式 4 一定不存在 $A\le 0$ 的值。
  • 盛金公式 4 中， $-1<T<1$

盛金定理编号	条件	结论	适用公式
1	$A=B=0$	$b=0$ 则 $c=d=0$	盛金公式 1
2	$A=B=0$	$b\ne 0$ 则 $c\ne 0$	盛金公式 1
3	$A=B=0$	$C=0$	盛金公式 1
4	$A=0$	$B\ne 0$ 则 $\mathrm{\Delta }>0$	盛金公式 2
5	$A<0$	$\mathrm{\Delta }>0$	盛金公式 2
6	$\mathrm{\Delta }=0$	$A=0$ 则 $B=0$	盛金公式 1
7	$\mathrm{\Delta }=0$	$B\ne 0$ 且 $A\ne 0$	盛金公式 3
8	$\mathrm{\Delta }<0$	不存在 $A\le 0$ 的值	盛金公式 4
9	$\mathrm{\Delta }<0$	$-1<T<1$	盛金公式 4

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特征值核心公式速查

$$\sum {\lambda }_i=\mathrm{tr}(A),\prod {\lambda }_i=|A|A^n\text{ 的特征值为 }{\lambda }^n,A^{-1}\text{ 的特征值为 }\frac{1}{\lambda },A^{\ast }\text{ 的特征值为 }\frac{|A|}{\lambda }$$

对角化方法速查

步骤	操作
①	解特征方程 $|A-\lambda E|=0$，求全部特征值
②	对每个 ${\lambda }_i$，解 $(A-{\lambda }_{i}E)x=0$，求特征向量
③	若有 $n$ 个线性无关特征向量，构造 $P$ 使 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$
正交对角化	对实对称矩阵：特征向量正交化→单位化→构造正交矩阵 $Q$