线性代数·4 线性方程组

考纲内容

• 线性方程组的克拉默（Cramer）法则
• 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
• 非齐次线性方程组有解的充分必要条件
• 线性方程组解的性质和解的结构，
• 齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间
• 非齐次线性方程组的通解

一、克拉默法则

考纲摘要：会用克拉默法则

对于这样的方程：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

如果

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$

则方程有唯一解，且有：

$$x_i=\frac{\left|\begin{array}{cccccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}{|A|}$$

二、齐次线性方程组

考纲摘要：

1. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法
3. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

1. 齐次线性方程组的基础解系

1. 定义

齐次线性方程组的一般形式：$Ax=0$ $n$ 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是 $R(A)<n$。

• 重要结论：若方程个数 $m$ 小于未知数个数 $n$，则 $Ax=0$ 必有非零解。

齐次线性方程组的解向量具有以下性质：

• 若 $x={\xi }_1,x={\xi }_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $x={\xi }_1+{\xi }_2$ 也是 $Ax=0$ 的解
• 如果 $x={\xi }_1$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $x=k{\xi }_1$ 也是 $Ax=0$ 的解

将 $Ax=0$ 的全体解的集合记作 $S$，如果能求得 $S$ 的一个最大无关组 $S_0:{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_t$，则 $S$ 中的每个向量都可以由 $S_0$ 线性表示，即

$$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_t{\xi }_t$$

这就是 $Ax=0$ 的通解，$S_0$ 称为该齐次线性方程组的基础解系

2. 求法

首先，求 $A$ 的行最简型矩阵：

$$B=\left[\begin{array}{cccccc}1& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1,1-r}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 1& b_{r1}& \cdots & b_{r,n-r}\\ 0& & \cdots & \cdots & & 0\\ ⋮& & & & & ⋮\\ 0& & \cdots & \cdots & & 0\end{array}\right]$$

那么，$Ax=0$ 的通解就是：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\\ x_{r+1}\\ x_{r+2}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}-b_{11}\\ ⋮\\ -b_{r1}\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-b_{12}\\ ⋮\\ -b_{r2}\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]+\cdots +c_{n-r}\left[\begin{array}{c}-b_{1,n-r}\\ ⋮\\ -b_{r,n-r}\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$$

在这里，$x_{r+1}=c_1,x_{r+2}=c_2,\cdots ,x_n=c_{n-r}$，也就是说，化为行最简型矩阵后，0 行对应的未知数可以直接作为自由未知数，作为通解的系数

也可以将上式记作 $x=c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2+\cdots +c_{n-r}{\xi }_{n-r}$，

• ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_{n-r}$ 是解集 $S$ 的最大无关组，也是 $Ax=0$ 的基础解系
• 设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$，则 $Ax=0$ 的解系 $S$ 的秩为 $R_S=n-r$

三、非齐次线性方程组

考纲摘要：

1. 理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件
2. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念
3. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

1. 非齐次线性方程组有解的条件

非齐次线性方程组的一般形式：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdot \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

也可以写成：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right],Ax=b$$

对于以上方程组：

• 无解的充要条件是 $R(A)<R(A,b)$
• 有唯一解的充要条件是 $R(A)=R(A,b)=n$
• 有无限多解的充要条件 $R(A)=R(A,b)<n$
• 对于矩阵方程：$A_{m\times n}{X}_{n\times l}=B_{m\times l}$，则该方程有解的充要条件是 $R(A)=R(A,B)$

2. 非齐次线性方程组的通解

对于 $Ax=b$，如果 $x={\eta }_1,x={\eta }_2$ 都是它的解，则 $x={\eta }_1-{\eta }_2$ 是 $Ax=0$ 的解

因此，如果求出 $Ax=b$ 的其中一个特解 ${\eta }^{\ast }$，则它的通解为：

$$x=k_1{\xi }_1+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+{\eta }^{\ast }$$

其中，${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系

例题

求以下非齐次线性方程组的通解

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -3\\ 1& -1& -2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$

对增广矩阵施加初等行变换：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 1& 0\\ 1& -1& 1& -3& 1\\ 1& -1& -2& 3& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& -1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& -2& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

即：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2+x_4+\frac{1}{2}\\ x_3=2x_4+\frac{1}{2}\end{array}$$

显然，可以存在一个特解：

$${\eta }^{\ast }=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right]$$

考虑其所对应的齐次线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2+x_4\\ x_3=2x_4\end{array}$$

取 $(x_2,x_4{)}^T=(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$，则 $(x_1,x_3{)}^T=(1,0{)}^T,(1,2{)}^T$

因此，其通解为：

$$x=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right]$$

题目整理

1. （3）设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为四维非零列向量组，令 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4),AX=0$ 的通解为 $X=k(0,-1,3,0{)}^T$，则 $A^{\ast }X=0$ 的基础解系为：A. ${\alpha }_1,{\alpha }_3$ B. ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ C. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ D. ${\alpha }_3,{\alpha }_4$
2. （填空2）设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$A$ 的歌行元素之和为 $0$，且 $r(A)=n-1$，则方程组 $AX=0$ 的通解为____
3. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $|A|=0,A_{ki}\ne 0$，则 $AX=0$ 的通解为____
4. (3) 设 ${\eta }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 2\end{array}\right],{\eta }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\\ 4\end{array}\right],{\eta }_3=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ -3\\ 11\end{array}\right]$ 为 $\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+2x_2+a_3{x}_3+a_4{x}_4=d_1\\ 4x_1+b_2{x}_2+3x_3+b_4{x}_4=d_2\\ 3x_1+c_2{x}_2+5x_3+c_4{x}_4=d_3\end{array}$ 的三个解，求其通解
5. （7）设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,{\alpha }_5)$，其中，${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_5$ 线性无关，且 ${\alpha }_2=3{\alpha }_1-{\alpha }_3-{\alpha }_5,{\alpha }_4=2{\alpha }_1+{\alpha }_3+6{\alpha }_5$，求 $AX=0$ 的通解
6. （13）就 $a,b$ 的不同取值，讨论方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_3=1\\ 2x_1+(a+2)x_2-(b+2)x_3=3\\ -3a{x}_2+(a+2b)x_3=-3\end{array}$ 解的情况