线性代数·1 行列式

考纲内容

1. 行列式的概念和基本性质
2. 行列式按行（列）展开定理

一、几种特别的行列式

1. 上/下三角形行列式

$$D=\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}& a_{22}\\ ⋮& ⋮& \ddots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

2. 对角行列式

$$\mathrm{\Lambda }=\left|\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$$

3. 副对角线行列式

$$D=\left|\begin{array}{ccc}0& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \dots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\dots a_{n1}$$

4. 范德蒙行列式

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{n\ge i>j\ge 1}(x_i-x_j)$$

二、行列式的性质

考纲摘要：了解行列式的概念，掌握行列式的性质

1. $$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

   $D^T$ 称作转置行列式，$D=D^T$

2. 对换行列式的两行/列，行列式变号

3. 如果行列式的两行/列成比例，行列式为 0

4. 行列式的某一行乘以同一个数 $k$，等于行列式乘以 $k$

5. $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

   这个性质对列也生效

6. 行列式的某一行/列乘以 $k$ 加到另一行/列上，行列式值不变

三、行列式按行/列展开

考纲摘要：会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式

在 $n$ 阶行列式中，把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i $ 行和第 $ j$ 列划去后，留下的 n-1 阶行列式叫做 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$，而 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 称作代数余子式

行列式的值等于任一行/列各元素与其代数余子式的乘积的和，即：

$$D=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},i=1,2,\cdots ,n$$

这就是行列式的按行/列展开

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0,i\ne j$$

四、克拉默 (Cramer) 法则

若含有 $n $ 个变量的 $ n$ 个线性方程组的系数行列式 $D\ne 0$，则方程组有唯一解：

$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\dots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$

其中 $D_j $ 是用方程组右端的常数项列替换 $ D$ 中第 $j$ 列得到的行列式。

• 推论：若齐次线性方程组的系数行列式 $D\ne 0$，则方程组只有零解；若方程组有非零解，则必有 $D=0$。

---

核心公式速查

$$|kA|=k^n|A|(A\text{ 为 }n\text{ 阶方阵})|AB|=|A|\cdot |B|,|A^{-1}|=|A{|}^{-1},|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1},|A^T|=|A|$$

易错辨析

易错表述	正确理解
"$AB=0 \Rightarrow A=0 $ 或 $ B=0$"	❌ 矩阵乘积为零不能推出因子为零
"$A^2 = A \Rightarrow A=E $ 或 $ A=O$"	❌ 幂等矩阵有很多种
"$r(A+B)=r(A)+r(B)$"	❌ 只有 $r(A+B)\le r(A)+r(B)$