数理统计·2 参数估计

考纲内容

• 点估计的概念
• 估计量与估计值
• 矩估计法
• 最大似然估计法
• 估计量的评选标准
• 区间估计的概念
• 单个正态总体的均值和方差的区间估计
• 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

一、点估计

考纲摘要：理解参数的点估计、估计量与估计值的概念

点估计问题的一般提法如下：

设总体 $X $ 的分布函数 $ F (x; \theta)$\mathrm{的}\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{为}\mathrm{已}\mathrm{知}，$\theta $ 是待估参数设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是 $X $ 的一个样本，$ x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是相应的一个样本值点估计问题就是要构造一个适当的统计量 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\dots ,X_n)$，用它的观察值 $\hat{\theta }(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 作为未知参数 $\theta$ 的近似值。

我们称 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为 $\theta$ 的估计量，称 $\hat{\theta }(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 为 $\theta$ 的估计值。在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计，并都简记为 $\hat{\theta }$。由于估计量是样本的函数，因此对于不同的样本值，$\theta$ 的估计值一般是不相同的。

1. 矩估计法

考纲摘要：掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）

设 $X $ 为连续型随机变量，其概率密度为 $ f (x; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k)$ 或 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\{X=x\}=p(x;{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k)$ 其中 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k $ 为待估参数，$ X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的样本。假设总体 $X $ 的前 $ k$ 阶矩

$$\begin{gathered} {\mu }_l=E(X^l)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{l}f(x;{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k)\mathrm{d}x(\text{X为连续型}) \\ {\mu }_l=E(X^l)=\sum _{x\in R_X}{x}^{l}p(x;{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k)(\text{X 为离散型}) \\ l=1,2,\cdots ,k \end{gathered}$$

（其中 $R_X $ 是 $ X$ 可能的取值范围）存在。一般来说，它们是 ${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k$ 的函数。

基于样本矩：

$$A_l=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^l,l=1,2,\cdots ,k$$

依概率收敛于相应的总体矩 ${\mu }_l$（$ l = 1, 2, \cdots, k$），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。

这种估计方法称为矩估计法。矩估计法的具体做法如下：设

$$\{\begin{array}{l}{\mu }_1={\mu }_1({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k),\\ {\mu }_2={\mu }_2({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k),\\ ⋮\\ {\mu }_k={\mu }_k({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k).\end{array}$$

通过求解这组方程，得到

$$\{\begin{array}{l}{\theta }_1={\theta }_1({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_k),\\ {\theta }_2={\theta }_2({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_k),\\ ⋮\\ {\theta }_k={\theta }_k({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_k).\end{array}$$

以 $A_i$ 分别代替上式中的 ${\mu }_i$，即

$${\hat{\theta }}_i={\theta }_i(A_1,A_2,\cdots ,A_k),i=1,2,\cdots ,k$$

分别作为 ${\theta }_i,i=1,2,\cdots ,k$ 的估计量，这种估计量称为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值

2. 最大似然估计法

考纲摘要：最大似然估计法

1. 离散型总体的最大似然估计量

若总体 $X $ 属离散型，其分布律为 $ P{X = x} = p (x; \theta),\theta\in\Theta$，\mathrm{的}\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{已}\mathrm{知}，$\theta$\mathrm{为}\mathrm{待}\mathrm{估}\mathrm{参}\mathrm{数}，$\Theta$ 是 $\theta $ 可能取值的范围设 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是来自 $ X$ 的样本，则 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的联合分布律为

$$\prod _{i=1}^{n}p(x_i;\theta ).$$

又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n $ 是相应于样本 $ X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的一个样本值易知样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n $ 取到观察值 $ x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的概率，亦即事件 { $X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots ,X_n=x_n$ } 发生的概率为

$$L(\theta )=L(x_1,x_2,\dots ,x_n;\theta )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i;\theta ),\theta \in \mathrm{\Theta }.$$

这一概率随 $\theta$ 的取值而变化，它是 $\theta$ 的函数，$L(\theta )$ 称为样本的似然函数（注意，这里 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是已知的样本值，它们都是常数）。

关于最大似然估计法，我们有以下的直观想法：

• 现在已经取到样本值 $x_1, x_2, \cdots, x_n $ 了，这表明取到这一样本值的概率 $ L (\theta)$ 比较大。
• 我们当然不会考虑那些不能使样本 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 出现的 $\theta \in \mathrm{\Theta }$ 作为 $\theta$ 的估计。
• 再者，如果已知当 $\theta = \theta_0\in\Theta $ 时使 $ L (\theta)$ 取很大值，而 $\mathrm{\Theta }$ 中的其他 $\theta $ 的值使 $ L (\theta)$ 取很小值，我们自然认为取 ${\theta }_0$ 作为未知参数 $\theta$ 的估计值较为合理。

由费希尔（R.A. Fisher）引进的最大似然估计法，就是固定样本观察值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，在 $\theta$ 取值的可能范围 $\Theta $ 内挑选使似然函数 $ L (x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta)$ 达到最大的参数值 $\hat{\theta }$ 作为参数 $\theta$ 的估计值。即取 $\hat{\theta }$ 使

$$L(x_1,x_2,\dots ,x_n;\hat{\theta })=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{max}L(x_1,x_2,\dots ,x_n;\theta ).$$

这样得到的 $\hat{\theta }$ 与样本值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 有关，常记为 $\hat{\theta }(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，称为参数 $\theta$ 的最大似然估计值，而相应的统计量 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 称为参数 $\theta$ 的最大似然估计量。

2. 连续型总体的最大似然估计量

若总体 $X $ 属连续型，其概率密度为 $ f (x; \theta)$，$\theta \in \Theta$ 的形式已知，$\theta$ 为待估参数，是 $\theta $ 可能取值的范围。设 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是来自 $ X$ 的样本，则 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的联合密度为

$$\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$$

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n $ 是相应于样本 $ X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的一个样本值，则随机点 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 落在点 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的邻域（边长分别为 $\mathrm dx_1, \mathrm dx_2, \cdots, \mathrm dx_n $ 的 $ n$ 维立方体）内的概率近似地为

$$\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )\mathrm{d}{x}_i$$

其值随 $\theta$ 的取值而变化。与离散型的情况一样，我们取 $\theta$ 的估计值 $\hat{\theta }$ 使概率最大，但因子 $\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2,\cdots ,\mathrm{d}{x}_n$ 不随 $\theta$ 而变，故只需考虑函数

$$L(\theta )=L(x_1,x_2,\dots ,x_n;\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$$

的最大值。这里 $L(\theta )$ 称为样本的似然函数。若

$$L(x_1,x_2,\dots ,x_n;\hat{\theta })=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{max}L(x_1,x_2,\dots ,x_n;\theta ),$$

则称 $\hat{\theta }(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为 $\theta$ 的最大似然估计值，称 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为 $\theta$ 的最大似然估计量。

3. 最大似然估计量求解最大值

这样，确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题了。在很多情形下，$p(x;\theta )$ 和 $f(x;\theta )$ 关于 $\theta$ 可微，这时 $\hat{\theta }$ 常可从方程

$$\frac{\mathrm{d}L(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=0$$

解得。又因 $L(\theta )$ 与 $\ln L(\theta )$ 在同一 $\theta$ 处取到极值，因此，$\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta }$ 也可以从方程

$$\frac{\mathrm{d}\ln L(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=0$$

求得，而从后一方程求解往往比较方便。该方程称为对数似然方程

二、估计量的评选标准

考纲摘要：了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性

1. 无偏性

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是总体 $ X$ 的一个样本，$\theta \in \Theta $ 是包含在总体 $ X$ 的分布中的待估参数，这里 $\mathrm{\Theta }$ 是 $\theta$ 的取值范围

若估计量 $\hat{\theta }=\hat{\theta }(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 的数学期望 $E(\hat{\theta })$ 存在，且对于任意 $\theta \in \mathrm{\Theta }$ 有

$$E(\hat{\theta })=\theta$$

注：由于 $\theta $ 不确定，因此 $ E(\hat\theta)$ 实际上是一个关于 $\theta$ 的函数，所以才称得上 $\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$

则称 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的无偏估计量

估计量的无偏性是指，对于某些样本值，由这一估计量得到的估计值相对于真值来说偏大，有些则偏小。反复将这一估计量使用多次，就“平均”来说其偏差为 0。在科学技术中，$E(\hat{\theta })-\theta$ 称为以 $\hat{\theta }$ 作为 $\theta$ 的估计的系统误差。无偏估计的实际意义就是无系统误差

2. 有效性（最小方差性）

设 ${\hat{\theta }}_1={\hat{\theta }}_1(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 与 ${\hat{\theta }}_2={\hat{\theta }}_2(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量，若对于任意 $\theta \in \mathrm{\Theta }$ 有

$$D({\hat{\theta }}_1)\le D({\hat{\theta }}_2)$$

且至少对于某一个 $\theta \in \mathrm{\Theta }$ 上式中的不等号严格成立，则称 ${\hat{\theta }}_1$ 较 ${\hat{\theta }}_2$ 有效

3. 相合性（一致性）

设 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为参数 $\theta$ 的估计量，若对于任意 $\theta \in \Theta $，当 $ n \to \infty$ 时 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 依概率收敛于 $\theta$，则称 $\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的相合估计量。即：

$$\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta },\mathrm{\forall }\epsilon >0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{|\hat{\theta }-\theta |<\epsilon \}=1,$$

则称 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的相合估计量。

三、区间估计

1. 置信区间

设总体 $X $ 的分布函数 $ F (x; \theta)$ 含有一个未知参数 $\theta$，$\theta \in \mathrm{\Theta }$ 是 $\theta$ 可能取值的范围。对于给定值 $\alpha $（$ 0 < \alpha < 1 $），若由来自 $ X$ 的样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 确定的两个统计量 ${\theta }_L={\theta }_L(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 和 ${\theta }_U={\theta }_U(X_1,X_2,\dots ,X_n)$（${\theta }_L<{\theta }_U$），对于任意 $\theta \in \mathrm{\Theta }$ 满足

$$P\{{\theta }_L(X_1,X_2,\dots ,X_n)<\theta <{\theta }_U(X_1,X_2,\dots ,X_n)\}\ge 1-\alpha ,$$

则称 $1-\alpha$ 为置信水平 随机区间 $({\theta }_L,{\theta }_U)$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间 ${\theta }_L$ 和 $\theta_U $ 分别称为置信水平为 $ 1 - \alpha$ 的双侧置信区间的置信下限和置信上限

寻求未知参数 $\theta$ 的置信区间的具体做法如下：

1. 寻找枢轴量：寻求一个样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 和 $\theta$ 的函数 $W=W(X_1,X_2,\dots ,X_n;\theta )$，使得 $W$ 的分布不依赖于 $\theta$ 以及其他未知参数。称具有这种性质的函数 $W$ 为枢轴量。

2. 定出常数并构造置信区间：对于给定的置信水平 $1 - \alpha $，定出两个常数 $ a$ 和 $b$ 使得

   $$P\{a<W(X_1,X_2,\dots ,X_n;\theta )<b\}=1-\alpha .$$

   若能从 $a<W(X_1,X_2,\dots ,X_n;\theta )<b$ 得到与之等价的 $\theta$ 的不等式 ${\theta }_L<\theta <{\theta }_U$，其中 ${\theta }_L={\theta }_L(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 和 ${\theta }_U={\theta }_U(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 都是统计量，那么 $({\theta }_L,{\theta }_U)$ 就是 $\theta $ 的一个置信水平为 $ 1 - \alpha$ 的置信区间。

2. 正态总体均值与方差的区间估计

1. 单个总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的情况

设已给定置信水平为 $1-\alpha $，并设 $ X_1,X_2,\cdots,X_n $ 为总体 $ N (\mu,\sigma^2)$\mathrm{的}\mathrm{样}\mathrm{本}，$\overline X,S^2$ 分别为样本均值和样本方差

(1) 均值 $\mu$ 的置信区间

${\sigma }^2$ 已知时，可使用 $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 作为枢纽量， $\mu$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为：

$$(\bar{X}\pm \frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\alpha /2})$$

其中，$z_{\alpha /2}$ 是标准正态分布 N (0,1) 的 $\alpha /2$ 分位点

${\sigma }^2$ 未知时，可以使用 $\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ 作为枢纽量，其中一个置信水平为 $1-\alpha$ 置信区间为

$$(\bar{X}\pm \frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1))$$

(2) 方差 ${\sigma }^2$ 的置信区间

$\mu$ 未知时，$\sigma^2 $ 的置信水平为 $ 1-\alpha$ 的置信区间为：

$$(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)})$$

2. 两个总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的情况

设两个总体的样本分别为 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1}\},\{X_1,X_2,\cdots ,X_{n_2}\}$

(1) ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的置信区间

在 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知的情况下，$\mu_1-\mu_2 $ 的一个置信水平为 $ 1-\alpha$ 的置信区间

$$(\bar{X}-\bar{Y}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}})$$

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$，但 $\sigma$ 未知的情况下，${\mu }_1-{\mu }_2$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间

$$\begin{gathered} (\bar{X}-\bar{Y}\pm t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}) \\ {S}_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},S_w=\sqrt{S_w^2} \end{gathered}$$

(2) ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的置信区间

${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知时，$\sigma_1^2/\sigma_2^2 $ 的一个置信水平为 $ 1-\alpha$ 的置信区间

$$\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)}$$

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大题解题套路

最大似然估计（MLE）

1. 写似然函数 $L=\prod f(x_i;\theta )$
2. 取对数 $\ln L$
3. 对 $\theta$ 求导令 $=0$，解出 $\hat{\theta }$
4. 检验无偏性：$E(\hat{\theta })=\theta$？

矩估计

1. 令 $E(X)=g(\theta )$，用 $\overline{X}=g(\hat{\theta })$ 解出 $\hat{\theta }$
2. 若有两个参数：再用 $E(X^2)=h({\theta }_1,{\theta }_2)$，令 $A_2=h({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2)$，联立解方程组

易错辨析

易错表述	正确理解
"$S^2 $ 除以 $ n$"	❌ 样本方差除以 n-1（为了无偏）
"MLE 一定无偏"	❌ MLE 不一定是无偏估计
"频率等于概率"	❌ 频率依概率收敛于概率（大数定律）
"$D(X)=0 $ 则 $ X$ 为常数"	✅ $D(X)=0\iff P(X=E(X))=1$