考研数学一 · 线性代数 —— 知识库总览

本资料库汇集了考研数学一《线性代数》模块的全部核心知识点，涵盖行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型六大章节。

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📂 理论模块

• 01 行列式：行列式的定义与性质；行列式展开定理；特殊行列式（范德蒙/三角）；克拉默法则。
• 02 矩阵：矩阵运算；逆矩阵/伴随矩阵；分块矩阵；初等变换与初等矩阵；矩阵的秩。
• 03 向量：向量组的线性相关/无关；极大线性无关组与秩；向量空间基础。
• 04 线性方程组：齐次/非齐次方程组；解的判定与求解；解的结构。
• 05 特征值与特征向量：特征值/特征向量求法；相似矩阵与对角化；实对称矩阵的正交对角化。
• 06 二次型：二次型及其矩阵表示；正交变换化标准形；规范形与正定性判定。

🎯 提分与回顾

分值分布（线代约 34 分）：两道大题几乎固定为"方程组 / 特征值与对角化 / 二次型"三选二，且秩是贯穿全科的主线。

必背速查

主题	一句话结论
方程组解的判定	$r(A)=r(A,b)=n$ 唯一解；$<n$ 无穷解；$r(A)\ne r(A,b)$ 无解
齐次解的个数	基础解系含 $n-r(A)$ 个向量
伴随矩阵的秩	$r(A)=n\Rightarrow n$；$r(A)=n-1\Rightarrow 1$；$<n-1\Rightarrow 0$
$A{A}^{\ast }$	$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
特征值性质	$\sum {\lambda }_i=\mathrm{tr}(A)$，$\prod {\lambda }_i=|A|$
可对角化充要条件	每个特征值的几何重数 = 代数重数
实对称矩阵	必可对角化，且不同特征值的特征向量正交
正定的充要条件	特征值全正 ⟺ 顺序主子式全正 ⟺ 正惯性指数 $=n$
合同 vs 相似	相似必合同（实对称时）；合同只保证正负惯性指数相同

高频易错

1. $|kA|=k^n|A|$，不是 $k|A|$。
2. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$，但 $r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$，两者别记混。
3. 特征向量必须是非零向量；$\lambda =0$ 是允许的。
4. 矩阵相似要求存在可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$；正交相似还要求 $P$ 正交。
5. 二次型化标准形：配方法得到的不一定是正交变换，问"正交变换"时必须用施密特正交化。
6. $A$ 与 $B$ 特征值相同不能推出相似（还需可对角化）。