概率论·1 随机事件与概率

考纲内容

• 随机事件与样本空间
• 事件的关系与运算
• 完备事件组
• 概率的概念
• 概率的基本性质
• 古典型概率
• 几何型概率
• 条件概率
• 概率的基本公式
• 事件的独立性
• 独立重复试验

一、样本空间与随机事件

考纲摘要：了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算

1. 相关概念的定义

• 随机试验：具有以下三种特点的试验称作随机试验：
  1. 可以在相同的条件下重复地进行
  2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
  3. 进行一次试验前不能确定哪个结果会出现
• 样本空间：将随机试验 $E$ 的所有可能结果组成的集合称为 $E$ 的样本空间，记作 $S$，其中的每个元素称作样本点
• 随机事件：称试验 $E$ 的样本空间 $S$ 的子集为 $E$ 的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生
  • 基本事件：由一个样本点组成的单点集称作基本事件
  • 必然事件：样本空间 $S$ 包含所有样本点，每次试验它是必然发生的，因此称之为必然事件
  • 不可能事件：空集 $\varnothing$ 不包含任何样本点，每次试验它都不会发生，因此称之为不可能事件

2. 事件的关系及运算

• 若 $A\subset B$，则称事件 $B$ 包含事件 $A$，这指的是事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 的发生若 $A=B$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相等
• 事件 $A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$ 称作事件 $A$ 与事件 $B$ 的和事件，可以记作 $A+B$
• 事件 $A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$ 称作事件 $A$ 与事件 $B$ 的积事件，简记为 AB
• 事件 $A-B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$ 称作事件 $A$ 与事件 $B$ 的差事件，$A-B=A\bar{B}$
• 如果 $A\cap B=\varnothing$，称事件 $A$ 与事件 $B$ 是互不相容的（或互斥的）
• 如果 $A\cup B=S\wedge A\cap B=\varnothing$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 互为逆事件（或互为对立事件），记作 $B=\bar{A}=S-A$

事件运算的性质：

• 交换律：$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$
• 结合律： $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
• 分配律： $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• 德·摩根律：$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B},\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

二、概率

考纲摘要：

1. 理解概率的概念，掌握概率的基本性质
2. 掌握概率的加法公式、减法公式

1. 频率

在相同的条件下，进行 $n$ 次试验，其中，$A$ 发生的次数 $n_A$ 称为事件 $A$ 发生的频数，比值 $\frac{n_A}{n}$ 称作事件 $A$ 发生的频率，记作 $f_n(A)$,

性质：

• $0\le f_n(A)\le 1$
• $f_n(S)=1$
• 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$ 是两两互不相容的事件，则 $f_n(\bigcup _{i=1}^k{A}_i)=\sum _{i=1}^k{f}_n(A_i)$

2. 概率的定义及其性质

设 $E$ 是随机试验，$S$ 是它的样本空间，对于 $E$ 的每个事件 $A$ 赋予一个实数 $P(A)$，称作事件 $A$ 的概率，集合函数 $P$ 满足以下条件：

• 非负性：$\mathrm{\forall }A\subset S,P(A)\ge 0$
• 规范性：$P(S)=1$
• 可列可加性：设 $A_1,A_2,\cdots$ 是两两互不相容的事件，则 $P(A_1\cup A_2\cup \cdots )=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$

当试验次数 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$f_n(A)=P(A)$

概率的性质：

• $P(\varnothing )=0$
• 有限可加性：若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是两两互不相容的事件，则 $P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$
• 若 $A\subset B$，则 $P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)\ge P(A)$ （可以理解为这是从 B 中”挖掉“一块 A）
• $\mathrm{\forall }A\subset S,P(A)\le 1$
• 逆事件的概率：$P(\bar{A})=1-P(A)$
• 加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
• 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$，特别地，如果 $B\subset A$，则 $P(A-B)=P(A)-P(B)$

三、古典概型

考纲摘要：会计算古典型概率和几何型概率

1. 古典概型的定义

具有以下特点的试验称作等可能概型（古典概型）：

• 试验的样本空间只包含有限个元素
• 试验中的每个基本事件发生的可能性相同

设试验的样本空间为 $S=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，则有：$P(\{e_1\})=P(\{e_2\})=\cdots =P(\{e_n\})$，$P(\{e_i\})=\frac{1}{n},i=1,2,\cdots ,n$ 若事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，则 $P(A)=\frac{k}{n}$

组合数：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

2. 超几何分布（不放回抽样）

设 $N$ 件产品中有 $K$ 件次品，从中任取 $n$ 件，求恰好取到 $k$ 件次品的概率。

所有取法的数量是 $C_N^n$ 种，$K$ 件次品中取 $k$ 件的取法有 $C_K^k$ 种，$N-K$ 件正品中取 $n-k$ 件的取法有 $C_{N-K}^{n-k}$ 种，因此恰好取到 $k$ 件次品的取法有 $C_K^k{C}_{N-K}^{n-k}$ 种，所求概率即为

$$P(A)=\frac{C_K^k{C}_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$$

这就是超几何分布的概率公式。

3. 几何概型

若随机试验的样本空间 $S$ 是一个区域（线段、平面图形或空间立体），且每个样本点出现的概率只与该区域的几何度量（长度、面积或体积）成正比，则称此模型为几何概型。

$$P(A)=\frac{L(A)}{L(S)}$$

其中 $L$ 表示几何度量。

4. 例题

抽签的公平性：袋中有 $a$ 只白球、$b$ 只黑球，$k$ 个人依次不放回地各取一球，求第 $k$ 人取到白球的概率。

把 $a+b$ 只球视为可辨的，样本点总数为 $(a+b)!$ 种排列。第 $k$ 个位置放白球的排法有 $a\cdot (a+b-1)!$ 种，故

$$P=\frac{a\cdot (a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b}$$

与 $k$ 无关，说明抽签与顺序无关，这是古典概型的经典结论。

分房问题：将 $n$ 个人随机分配到 $N$ 个房间（$n\le N$），求恰好有 $n$ 个房间各住一人的概率。总分法 $N^n$ 种，符合要求的有 $A_N^n$ 种，故 $P={\displaystyle \frac{A_N^n}{N^n}}$。

四、条件概率

考纲摘要：理解条件概率的概念，掌握乘法公式

1. 条件概率的定义

设 $A,B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$，称 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件 $A$ 发生的前提下事件 $B$ 发生的条件概率 它显然符合概率定义中的三个条件：

• 非负性：$\mathrm{\forall }B\in S,P(B|A)\ge 0$
• 规范性：$P(S|A)=0$
• 可列可加性：设 $B_1,B_2,\cdots B_n$ 是两两互不相容的事件，则有 $P(\bigcup _{i=1}^n{B}_i|A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i|A)$

乘法定理：设 $P(A)>0$，则有 $P(AB)=P(B|A)P(A)$，该式也称作乘法公式

2. 全概率公式和贝叶斯公式

考纲摘要：掌握全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式

设 $S$ 是事件 $E$ 的样本空间， $B_1,B_2,\cdots ,B_n\subset E$，如果：

• $B_j{B}_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,n$
• $\bigcup _{i=1}^n{B}_i=S$

则称 $B_1,B_2,\cdots B_n$ 是样本空间 $S$ 的一个划分。

基于此，全概率公式如下所示：

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)$$

在很多实际问题中 $P(A)$ 不易直接求得，但却容易找到 $S$ 的一个划分 $B_1,B_2,\cdots B_n$ 且 $P(B_i)$ 和 $P(A|B_i)$ 已知或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出 $P(A)$

同样基于以上划分定义中的符号，给出贝叶斯公式：

$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)},i=1,2,\cdots ,n$$

当 $n=2$ 时的上述公式较为常用，如下所示：

• 全概率公式：$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})$
• 贝叶斯公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}$

五、事件独立性

考纲摘要：理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算、理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法

设 $A,B$ 是两事件，如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A,B$ 相互独立，简称独立

设 $P(A)>0,P(B)>0$，则事件独立的性质如下：

• $P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)$
• $A\mathrm{与}\bar{B},\bar{A}\mathrm{与}B,\bar{A}\mathrm{与}\bar{B}$ 也相互独立

推广到 3 个事件相互独立的定义：设 $A,B,C$ 是 3 个事件，则三者相互独立的条件为：

$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$

推广到 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立的定义：任意 $r,r\le n$ 个事件的积事件的概率都等于这 $r$ 个事件的概率之积。

2. 独立重复试验 (伯努利试验)

在相同条件下重复进行 $n$ 次试验，若各次试验的结果相互独立，则称此为 $n$ 重独立重复试验。若每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ($0<p<1$)，则在 $n$ 重独立重复试验中，$A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为：

$$P_n(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$$

这就是二项分布的概率公式。

经典错题

1. 题干、参考答案与误解

问题如下：

设事件 $A,B,C$ 两两独立，满足 $ABC=\varnothing ,P(A)=P(B)=P(C),P(A\cup B\cup C)=\frac{9}{16}$，求 $P(A)$

参考答案给出的解法：

$$\begin{gathered} P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) \\ 3P(A)-3P(A{)}^2=\frac{9}{16},P(A)=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

但我的想法如下，首先，我们有：

$$\overline{A\cup B\cup C}=\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C}$$

因此，

$$P(\overline{A\cup B\cup C})=P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})=1-P(A\cup B\cup C)=\frac{7}{16}$$

由于 $A,B,C$ 两两独立，因此 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$ 两两独立，因此：

$$\begin{gathered} P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})=P(\bar{A}{)}^3=\frac{7}{16}, \\ P(\bar{A})=\sqrt[3]{\frac{7}{16}},P(A)=1-\sqrt[3]{\frac{7}{16}} \end{gathered}$$

我的想法中哪一步出了错误，导致我得出了错误的结果？

$$1-\sqrt[3]{\frac{7}{16}}$$

2. ChatGPT-o1-preview 的解释

你的错误出在以下步骤：

$$P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})=P(\bar{A}{)}^3$$

这个等式的成立需要 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$相互独立，也就是说，三个事件之间是完全独立的。但在题目中，事件 $A,B,C$ 仅仅是两两独立，并不是相互独立。因此，它们的补集 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$ 也仅仅是两两独立，并不是相互独立。

由于 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$ 不是相互独立的，所以不能直接将它们的联合概率表示为各自概率的乘积，即：

$$P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})\ne P(\bar{A})\times P(\bar{B})\times P(\bar{C})$$

正确的做法是利用两两独立的性质计算 $P(A\cup B\cup C)$：

1. 首先写出三个事件的并的概率公式：

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$$

2. 由于 $ABC=\mathrm{\varnothing }$，所以 $P(ABC)=0$。并且 $P(A)=P(B)=P(C)=p$。

3. 利用两两独立的性质，计算 $P(AB)=P(A)P(B)=p^2$，同理 $P(AC)=p^2$，$P(BC)=p^2$。

4. 将已知的 $P(A\cup B\cup C)=\frac{9}{16}$ 带入，得到方程：

$$3p-3p^2=\frac{9}{16}$$

5. 解方程，得到 $p=\frac{1}{4}$。

因此，你的错误在于错误地假设了互补事件的相互独立性，从而导致了错误的计算。

总结：你错误地假设了 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$ 相互独立，而实际上它们只是两两独立，这使得 $P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})\ne P(\bar{A}{)}^3$。

你的错误在于假设了 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$ 彼此独立，从而错误地使用了 $P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})=P(\bar{A}{)}^3$；实际上，$\bar{A},\bar{B},\bar{C}$ 仅是两两独立，不能将联合概率表示为概率的乘积。