数理统计·3 假设检验

考纲内容

• 显著性检验
• 假设检验的两类错误
• 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

1. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误
2. 掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

要深入理解显著性检验和假设检验，掌握其步骤，并探讨单个与两个正态总体均值和方差的假设检验，我们可以从以下几个关键点逐步展开分析：

一、显著性检验的基本思想与假设检验的基本步骤

1. 显著性检验的基本思想

显著性检验的核心在于检验一个样本中的观测结果是否足够偏离零假设的预测，从而判断该结果是否具有统计显著性，或者说它是否有可能由随机因素引起。通过显著性检验，我们可以决定是否拒绝原假设（$H_0$），即判断数据中的变化是否可能只是随机波动的结果。

显著性检验的基本思想可以总结为如下步骤：

1. 设定原假设 $H_0$：这是一个假设，通常是“无效果”或“无差异”的情况。例如，假设总体均值为特定值。

2. 选择显著性水平 $\alpha$：这代表我们愿意容忍的第一类错误（即错误地拒绝原假设的概率），通常为0.05或0.01。

3. 计算检验统计量：根据样本数据计算适当的检验统计量，以测量样本数据与原假设的偏离程度。常见的检验统计量包括t统计量、z统计量等。

4. 确定P值或临界值：通过检验统计量计算对应的P值，或者将其与临界值进行比较。P值表示在假设 $H_0$ 成立的前提下，观察到当前样本或更极端情况的概率。

5. 得出结论：根据P值或临界值的比较结果决定是否拒绝原假设。

2. 假设检验的基本步骤

假设检验是显著性检验的一个具体应用，其步骤如下：

1. 提出假设：

   • 原假设（$H_0$）：通常是我们想要证伪的命题。
   • 备择假设（$H_1$）：原假设被拒绝时可能成立的情况。

2. 选择检验统计量和显著性水平 $\alpha$：

   • 根据研究问题和数据类型选择合适的统计量（如t统计量或z统计量）。
   • 设定显著性水平 $\alpha$（例如0.05）。

3. 计算检验统计量和P值：

   • 基于样本数据计算检验统计量并求P值。

4. 做出决策：

   • 若P值小于 $\alpha$，则拒绝原假设 $H_0$（说明结果显著）。
   • 若P值大于 $\alpha$，则无法拒绝原假设。

5. 解释结论：

   • 根据决策，得出对原假设是否可以拒绝的结论。

3. 假设检验的两类错误

在假设检验中，可能产生两类错误：

1. 第一类错误（Type I Error）：

   • 定义：在原假设 $H_0$ 为真时错误地拒绝了 $H_0$。
   • 发生概率为显著性水平 $\alpha$。
   • 第一类错误也称为“假阳性”。

2. 第二类错误（Type II Error）：

   • 定义：在原假设 $H_0$ 为假时没有拒绝 $H_0$。
   • 第二类错误的概率通常记作 $\beta$，其补数（$1-\beta$）称为检验的功效。
   • 第二类错误也称为“假阴性”。

显著性水平 $\alpha$ 和功效 $1-\beta$ 在检验设计中往往需要权衡。降低 $\alpha$（减少第一类错误）会增加第二类错误的概率，因此需要根据研究背景合理设置。

二、单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验

1. 单个正态总体均值的假设检验

假设我们有一个单个正态总体，希望检验该总体均值 $\mu$ 是否为某一特定值 ${\mu }_0$。

1. 单个正态总体均值的 t 检验

当总体方差 ${\sigma }^2$ 未知时，通常使用t检验来检验总体均值：

1. 设定假设：

   • $H_0:\mu ={\mu }_0$
   • $H_1:\mu \ne {\mu }_0$（双侧检验），或 $H_1:\mu >{\mu }_0$ / $H_1:\mu <{\mu }_0$（单侧检验）

2. 检验统计量：计算样本均值 $\overline{X}$，则t统计量为

$$t=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$$

其中，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本量。

3. 计算P值或临界值：根据自由度 $df=n-1$，在t分布表中查找对应的临界值或计算P值。

4. 得出结论：比较t统计量和临界值，或P值与显著性水平。

2. 单个正态总体方差的假设检验

当检验单个正态总体的方差是否为某一值时，使用 ${\chi }^2$ 检验：

1. 设定假设：

   • $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$
   • $H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$

2. 检验统计量：使用以下统计量

$${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$$

其中 $S^2$ 为样本方差。

3. 计算P值或临界值：在 ${\chi }^2$ 分布表中查找对应的临界值或计算P值。

4. 得出结论：根据 ${\chi }^2$ 统计量与临界值或P值决定是否拒绝 $H_0$。

2. 两个正态总体均值的假设检验

在比较两个独立正态总体的均值差异时，通常使用两样本t检验。

1. 两个正态总体均值的 t 检验

当两个总体的方差相等或不等时，使用不同的t检验方法。

1. 设定假设：

   • $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$
   • $H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

2. 检验统计量：对于方差相等的情况，合并样本方差 $S_p^2$ 并计算t统计量

$$t=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

其中

$$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

3. 自由度： $df=n_1+n_2-2$

4. 计算P值或临界值：在t分布表中查找对应的临界值或计算P值。

2. 两个正态总体方差的假设检验

当比较两个正态总体方差是否相等时，使用F检验。

1. 设定假设：

   • $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$
   • $H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

2. 检验统计量：F 统计量定义为

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$$

其中 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 为两个样本的方差，且假设 $S_1^2>S_2^2$。

3. 计算P值或临界值：根据 $d{f}_1=n_1-1$ 和 $d{f}_2=n_2-1$ 查找F分布表中的临界值或计算P值。

4. 得出结论：比较F统计量与F分布的临界值或P值决定是否拒绝 $H_0$。

3. 单个正态总体均值的 Z 检验

当总体方差 ${\sigma }^2$ 已知时，使用 Z 统计量：

$$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$

在显著性水平 $\alpha$ 下，$H_1:\mu \ne {\mu }_0$ 的拒绝域为 $|Z|>z_{\alpha /2}$。

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三、假设检验常用总结表

总体	原假设 $H_0$	统计量	拒绝域 ($H_1$ 情况)
单正态均值 ($\sigma$ 已知)	$\mu ={\mu }_0$	$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$	$|Z|>z_{\alpha /2}$
单正态均值 ($\sigma$ 未知)	$\mu ={\mu }_0$	$t=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$	$|t|>t_{\alpha /2}(n-1)$
单正态方差	${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$	${\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2$ 或 ${\chi }^2>{\chi }_{\alpha /2}^2$
两正态均值差 (${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 已知)	${\mu }_1={\mu }_2$	$Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{{\sigma }_1^2/n_1+{\sigma }_2^2/n_2}}$	$|Z|>z_{\alpha /2}$
两正态均值差 (${\sigma }_1={\sigma }_2$ 未知)	${\mu }_1={\mu }_2$	$t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$	$|t|>t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)$
两正态方差比	${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$	$F=S_1^2/S_2^2$	$F<F_{1-\alpha /2}$ 或 $F>F_{\alpha /2}$