概率论·3 多维随机变量及其分布

考纲内容

• 多维随机变量及其分布
• 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
• 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度
• 随机变量的独立性和不相关性
• 常用二维随机变量的分布
• 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

一、二维随机变量

考纲摘要：理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质

1. 二维随机变量及其分布函数

设 $E$ 是一个随机试验，它的样本空间为 $S=\{e\}$，设 $X=X(e),Y=Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量由它们构成的一个向量 $(X,Y)$ 叫做二维随机变量

$$F(x,y)=P\{(X\le x)\cap (Y\le y)\}\to P\{X\le x,Y\le y\}$$

称作二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数，也称作随机变量 $X,Y$ 的联合分布函数

$F(x,y)$ 可以看作是平面上的点落在图 3-2 区域上的概率而落在矩形域 $\{(x,y)|x_1<x\le x_2.y_1<y\le y_2\}$ 的概率为： $P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)$

分布函数 $F(x,y)$ 的具有如下性质：

• $F(x,y)$ 是变量 $x,y$ 的不减函数，即对于任意固定的 $y$，当 $x_2>x_1$ 时 $F(x_2,y)\ge F(x_1,y)$ 对于任意固定的 $x$，当 $y_2>y_1$ 时 $F(x,y_2)\ge F(x,y_1)$
• $0\le F(x,y)\le 1$，且对于任意固定的 $y$，$F(-\mathrm{\infty }，y)=0$ 对于任意固定的 $x$ ，$F(x,-\mathrm{\infty })=0$ $F(-\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })=0,F(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=1s$
• $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}F(x+\mathrm{\Delta }x,y)=F(x,y),\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0^{+}}{lim}F(x,y+\mathrm{\Delta }y)=F(x,y)$，也就是它对 $x,y$ 均右连续
• $\mathrm{\forall }(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2,F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0$

2. 边缘分布

二维随机变量 $(X,Y)$ 作为一个整体，具有分布函数 F (x,y) 而 $X,Y$ 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为 $F_X(x),F_Y(y)$，依次称为二维随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数。边缘分布函数可以由 $F(x,y)$ 来确定：

$$F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<\mathrm{\infty }\}=F(x,\mathrm{\infty })$$

二、离散型的二维随机变量

考纲摘要：理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布

1. 离散型的二维随机变量的概率分布

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称 $(X,Y)$ 是离散型的随机变量.

设其所有可能取值为 $(x_i,y_j),i,j=1,2,\cdots$，记 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$，则有：

• $p_{ij}\ge 0$
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1$

其称之为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布律，或随机变量 $X,Y$ 的联合分布率，也可以用表格来表示：

$$\begin{array}{cccccc}& x_1& x_2& \cdots & x_i& \cdots \\ y_1& p_{11}& p_{21}& \cdots & p_{i1}& \cdots \\ y_2& p_{12}& p_{22}& \cdots & p_{i2}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& \\ y_j& p_{1j}& p_{2j}& \cdots & p_{ij}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& \end{array}$$

2. 离散型的二维随机变量的边缘分布

对于离散型随机变量，显然有：

$$P\{X=x_i\}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}$$

也就是说，如果考虑上一节中的表格，若希望求 $X$ 的边缘分布律，只需将所有行全部相加成一行若希望求 $Y$ 的边缘分布律，只需将所有列全部相加成一列

3. 离散型的条件分布率

设 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量，对于固定的 $j$，若 $P\{Y=y_j\}>0$，则：

$$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$$

称为在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律

三、连续型的二维随机变量

考纲摘要：理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率

1. 连续型的二维随机变量的概率密度

考纲摘要：理解二维连续型随机变量的概率密度

对于二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$，如果存在非负的函数 $f(x,y)$ 使对于任意 $x,y$ 有

$$F(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

则称 $(X,Y)$ 是连续型的二维随机变量，函数 $f(x,y)$ 称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度，或称为随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度 按定义，概率密度 $f(x,y)$ 具有以下性质：

• $f(x,y)\ge 0$
• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=F(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=1$
• 设 $G$ 是 xOy 上的区域，点 $(X,Y)$ 落在 $G$ 内的概率为 $P\{(X,Y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$（该是第一类二重积分）
• 若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续，则有 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

2. 连续型的二维随机变量的边缘概率密度

考纲摘要：理解二维连续型随机变量的边缘密度

边缘概率密度函数如下：

$$\begin{gathered} f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y \\ {f}_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x \end{gathered}$$

分别称之为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度

3. 连续型的条件概率密度

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$，$(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为 $f_Y(y)$ 若对于固定的 $y,f_Y(y)>0$，则称

$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

为在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件概率密度，称

$$F_{X|Y}(x|y)=P\{X\le x|Y=y\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{f(t,y)}{f_Y(y)}\mathrm{d}t$$

为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数

四、相互独立的随机变量

考纲摘要：理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件

设 $F(x,y)$ 及 $F_X(x),F_Y(y)$ 分别是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数及边缘分布函数，若

$$\mathrm{\forall }x,y,P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$$

也就是 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的。

如果 $(X,Y)$ 是连续型随机变量，则 $X,Y$ 相互独立的条件等价于 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

设 $(X_1,X_2,\cdots ,X_m),(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$ 相互独立，则 $X_i,Y_j,i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,n$ 相互独立。如果 $h,g$ 是连续函数，则 $h(X_1,X_2,\cdots ,X_m),g(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$ 相互独立

五、条件分布

1. 离散型条件分布率

设 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量，对于固定的 $j$，若 $P\{Y=y_j\}>0$，则称：

$$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_1,Y=Y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$$

为 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布率。它的一大基本性质：

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\{X=x_i|Y=y_j\}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}=\frac{1}{p_{\cdot j}}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=\frac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}=1$$

2. 连续型条件概率密度

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$，$(X,Y)$ 关于 $Y$ 边缘概率密度为 $f_Y(y)$，若对于固定的 $y,f_Y(y)>0$，则称

$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度。它的一大基本性质：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{X|Y}(x|y)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathrm{d}x=\frac{1}{f_Y(y)}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x=1$$

六、随机变量的函数的分布

考纲摘要：会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布

1. $Z=X+Y$ 的分布

$Z=X+Y$ 的分布函数，实际上可以写成以下形式：

$$F(z)=P\{Z=X+Y\le z\}$$

显然

$$F_Z(z)=P\{Z=X+Y\le z\}={\iint }_{x+y\le z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}y$$

设 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量，它具有概率密度 $f(x,y)$，则 $Z=X+Y$ 仍为连续型随机变量，其概率密度为：

$$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z-y,y)\mathrm{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathrm{d}x$$

如果 $X,Y$ 相互独立，则：

$$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x$$

这称为 $f_X,f_Y$ 的卷积公式，记作 $f_X\ast f_Y$

正态分布的情形

设 $X,Y$ 相互独立且 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 则 $Z=X+Y$ 服从正态分布，且 $Z\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

也可以推广到 $N$ 个独立正态随机变量 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2),i=1,2,\cdots ,n$， $\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N(\sum _{i=1}^n{\mu }_1,\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2)$

还可以进一步推广：有限个相互独立的正态变量的线性组合仍然服从正态分布

2. $Z=\frac{X}{Y}$ 的分布、$Z=XY$ 的分布

设 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量，具有概率密度 $f(x,y)$，则 $Z=\frac{Y}{X},Z=XY$ 仍为连续型随机变量，其概率密度分别为：

$$\begin{gathered} f_{Y/X}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x|f(x,xz)\mathrm{d}x \\ {f}_{XY}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})\mathrm{d}x \end{gathered}$$

3. $M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}$ 的分布

设 $X,Y$ 是两个相互独立的随机变量，其分布函数分别为 $F_X(x),F_Y(y)$

$M=max\{X,Y\}$ 的分布函数为：

$$P\{M\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z)$$

$N=min\{X,Y\}$ 的分布函数为：

$$\begin{gathered} P\{N\le z\}=1-P\{N>z\}=1-P\{X>z,Y>z\}=1-P\{X>z\}P\{Y>z\} \\ {F}_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] \end{gathered}$$

也可以推广到有 $n$ 个相互独立的随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的情况，设它们的分布函数分别为 $F_{X_i}(x_i),i=1,2,\cdots ,n$，设 $M=max\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\},N=min\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$，则它们的分布函数分别为：

$$\begin{gathered} F_{max}=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(z) \\ {F}_{min}=1-\prod _{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)] \end{gathered}$$

特别地，若 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立且具有相同的概率密度 $f(x)$ 和分布函数 $F(x)$ (即 i.i.d.)，则：

• $M=max\{X_1,\dots ,X_n\}$ 的概率密度：$f_M(z)=n[F(z){]}^{n-1}f(z)$
• $N=min\{X_1,\dots ,X_n\}$ 的概率密度：$f_N(z)=n[1-F(z){]}^{n-1}f(z)$

七、常用二维随机变量的分布

考纲摘要：掌握二维均匀分布，了解二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 的概率密度，理解其中参数的概率意义

1. 二维均匀分布

设 $G$ 是平面上的有界区域，其面积为 $A$，若二维随机变量 $(X,Y)$ 具有概率密度

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& (x,y)\in G\\ 0,& \mathrm{others}\end{array}$$

则称 $(X,Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布

2. 二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$

二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 的概率密度函数为：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{\frac{-1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]\right\}$$

其边缘概率密度为：

$$\begin{gathered} f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}\exp [-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}] \\ {f}_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}\exp [-\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}] \end{gathered}$$

显然，$X,Y$ 的边缘密度就是 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$

又有：

$$f_X(x)f_Y(y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}\exp \{-\frac{1}{2}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]\}$$

显然，$\rho =0$ 时，$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，这是二维正态随机变量 $X,Y$ 相互独立的充要条件