考研数学一 · 概率论与数理统计 —— 知识库总览

本资料库汇集了考研数学一《概率论与数理统计》模块的全部核心知识点，涵盖随机事件与概率、随机变量、数字特征、大数定律、数理统计与参数估计七大章节。

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📂 理论模块

• 01 随机事件与概率：样本空间/事件运算；古典/几何概型；条件概率/全概率/贝叶斯；独立性。
• 02 随机变量及其分布：离散/连续随机变量；常见分布；分布函数/密度函数。
• 03 多维随机变量及其分布：联合/边缘/条件分布；二维随机变量函数的分布。
• 04 随机变量的数字特征：期望/方差/协方差/相关系数。
• 05 大数定律与中心极限定理：切比雪夫不等式；大数定律；中心极限定理。
• 06 数理统计基本概念：总体/样本/统计量；三大抽样分布。
• 07 参数估计：矩估计/最大似然估计；估计量评价。
• 08 假设检验：两类错误；正态总体均值与方差的检验。

🎯 提分与回顾

分值分布（概率约 34 分）：两道大题常为"二维随机变量函数的分布 / 数字特征"与"参数估计"，数理统计部分性价比高。

常见分布速查

分布	$E(X)$	$D(X)$
$0\text{-}1(p)$	$p$	$p(1-p)$
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda )$	$\lambda$	$\lambda$
$G(p)$ 几何	$1/p$	$(1-p)/p^2$
$U(a,b)$	$(a+b)/2$	$(b-a{)}^2/12$
$E(\lambda )$ 指数	$1/\lambda$	$1/{\lambda }^2$
$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$
${\chi }^2(n)$	$n$	$2n$

必背结论

主题	一句话结论
方差公式	$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$
协方差	$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
和的方差	$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
独立与不相关	独立 $\Rightarrow$ 不相关；反之仅正态时成立
三大抽样分布	$\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$，$(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$，且二者独立
最大似然	先写 $L(\theta )$，再取 $\ln$ 求导；注意均匀分布等要用单调性而非求导

高频易错

1. 分布函数 $F(x)$ 是右连续的，且 $F(-\mathrm{\infty })=0,F(+\mathrm{\infty })=1$。
2. 求二维函数分布时，先画出积分区域再定限，"卷积公式"只在独立时可用。
3. 不相关只说明线性无关，$\rho =0$ 不等于独立。
4. $E(XY)=E(X)E(Y)$ 只在不相关（含独立）时成立。
5. 无偏性判断的是 $E(\hat{\theta })=\theta$，样本方差用 $n-1$ 才无偏。
6. 假设检验中"接受 $H_0$"只是证据不足以拒绝，不等于 $H_0$ 为真。