02 函数、极限与连续

本章是整个微积分的基石，几乎所有的高等数学概念（导数、定积分、级数等）都是建立在极限思想之上的。在这里，我们需要深刻理解极限的精确定义、性质，并掌握计算极限的核心方法。

一、 函数的基础性质复习

• 单调性：判断函数在定义域内递增或递减（常利用一阶导数符号判定）。

• 奇偶性：$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数（关于原点对称），$f(-x)=f(x)$ 为偶函数（关于 $y$ 轴对称）。

  • 奇函数与偶函数的积分性质在此后的大题中极其重要！

• 周期性：存在 $T>0$ 使得 $f(x+T)=f(x)$。三角函数为典型周期函数。

• 有界性：存在 $M>0$，使得对定义域内所有 $x$，均有 $|f(x)|\le M$。

• 函数的自变量变换：考研中常涉及复杂复合函数的定义域推导，必须熟练掌握 $f(g(x))$ 形式。

• 单值函数判定（铅直画线法）：若任一条铅直线与曲线图像至多有一个交点，则关系式确定的是单值函数。考试中研究的对象基本为单值函数，若出现多值（如圆的方程）则需要划分分支。

• 反函数判定（水平画线法）：在单值函数的前提下，若任一条水平直线与图像至多有一个交点，则该函数存在反函数（这等价于函数在定义域上是一个单射、严格单调的函数）。

  • 注意：若 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x)$，则它们的对应法则互反，有恒等式 $f(f^{-1}(x))=x$ 及 $f^{-1}(f(x))=x$ 成立。

二、 极限的定义与三大基本性质

极限的存在性不仅仅是一个数值上的逼近，更是拓扑学上的收敛。在考研中，理解以下三条性质非常关键，它们常作为选择题或证明题的切入点：

1. 唯一性：如果极限存在，那么极限值唯一。深刻理解收敛所蕴含的“一致性要求”。如果一个函数的左极限与右极限存在但不等，则该点极限不存在。对于数列而言，如果奇数项子列与偶数项子列收敛于不同的值，则整个数列发散。

2. 有界性：如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，则在 $x_0$ 的某个去心邻域内，$f(x)$ 必有界。

   • 注意辨析：有界且极限存在即为收敛；但有界并不一定收敛（例如 $\sin n$）。

3. 保号性：如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A>0$（或 $<0$），则存在 $x_0$ 的某一去心邻域，在此邻域内恒有 $f(x)>0$（或 $<0$）。

   • 推论：若在某去心邻域内 $f(x)\ge 0$，且极限存在，则 $limf(x)\ge 0$。绝对没有严格大于！

三、 常用等价无穷小替换

当 $x\to 0$ 时，以下等价无穷小必须死记硬背，它们对化简计算起到决定性作用：

3.1 一阶等价

$$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x$$$$\ln (x+1)\sim x$$$$e^x-1\sim x$$$$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$$$$a^x-1\sim x\ln a$$$$(1+x{)}^a-1\sim ax$$

3.2 高阶等价与带有系数的等价

$$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$$$$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$$$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$$$$\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$$$\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$$

等价无穷小替换的易错点

1. 加减法慎用等价替换：只有当被替换部分与剩余部分不是同阶的对应相消时才可以替换。如果不确定，果断使用泰勒公式展开！

2. 阶数配齐问题：特别在分式中，如分母是 $x^2$ 当 $x\to 0$，则分子的展开（或化简）无论如何都要精确到具有 $x^2$ 及其高阶无穷小 $o(x^2)$ 的形式，少展开或者瞎舍去会直接导致极限值错误。

四、 极限计算法核心与易错辨析

4.1 重要极限

1. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$

2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$，或 $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

• 处理 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型极限的核心公式为：若 $limu(x)=0,limv(x)=\mathrm{\infty }$，则 $lim[1+u(x){]}^{v(x)}=e^{limu(x)v(x)}$。

4.2 极限易错辨析（深水区陷阱）

1. 阶的错配：对于经常给出泰勒展开结构的题目（如含有积分上限函数或指数函数嵌套），最经典错误是在多项式系数相消时，不小心将不同阶数的余项随意丢弃。法则：对于分式结构，必须先确认分母的精确阶数，再调配分子的展开阶数使其完全匹配。如果分子产生相减抵消，必须同阶展到底，绝不可凭感觉截断！

   • 例如：变限积分 ${\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ 展开应为 $x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$，如果分子有其他一阶项刚好减掉 $x$，就要留住 $x^3$ 项！

   • 注：在此化简过程中每一次余项操作都会回到极限的本源定义，绝对不允许对带有 $o(\cdot )$ 的余项进行求导！

2. 双重极限：当表达式是指数套指数或是嵌套结构（例如极限变量出现在底数和指数同时），很多人喜欢先对其中一个取极限，这在大部分情况下是非法的。出题者若给出了嵌套结构，一定要回到极限的四则运算，不行则需要重新估阶。

   • 例如：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{x})}^{x^2}}{e^x}$ 经典错误是认为分子是 $e^x$ 取双极限导致答案为 1。这里必须使用 $e^{g(x)\ln f(x)}$ 的形式严格使用泰勒公式对指数部分展开至具有 $o(x^{-2})$ 使得乘上 $x^2$ 后成为 $o(1)$，最终可得正确的 $e^{-1/2}$。

3. 四则运算法则滥用：极限的四则运算要求分子分母（或两项）的极限均必须存在！绝对不能把发散项和收敛项随便剥离运用极限结合律。只有分离出来的独立部分极限存在，才能进行拆分。除法极限拆分需保证极限分母非零。

4.3 离散大杀器：斯托尔兹 (Stolz-Cesàro) 定理

处理数列前 $n$ 项和极限的 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型问题时，洛必达法则会因为自变量离散而失效，此时必须使用斯托尔兹定理：

若数列 $x_n$ 严格单增且 $\underset{n}{lim}{x}_n=+\mathrm{\infty }$，且极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}=L$ 存在（或为无穷），则：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y_n}{x_n}=L$$

（注：它是处理类似 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=1}^n{a}_k}{n}$ 算术平均极限的神器。）

五、 连续性判定与闭区间四大定理

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $⟺\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$。（大题中切勿默认函数连续，必须给出说明！）

5.1 间断点类型判定

若函数在 $x_0$ 点不连续，则 $x_0$ 为间断点。

间断点分为两大类，依据是左右极限是否存在：

• 第一类间断点：左极限与右极限均存在。

  • 可去间断点：左极限 $=$ 右极限，但该点无定义或者且不等于函数值。

  • 跳跃间断点：左极限 $\ne$ 右极限。

• 第二类间断点：左极限与右极限至少有一个不存在。

  • 无穷间断点：某侧极限趋向于无穷大（例如 $\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）。

  • 振荡间断点：当 $x\to x_0$ 时，函数值在某个区间内不停振动，没有极限（例如 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）。

5.2 闭区间上连续函数的四大基本定理

对于在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$，必然满足以下四大天王性质：

1. 有界性定理：函数在 $[a,b]$ 上必定有界。

2. 最值定理：在 $[a,b]$ 上必能取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。

3. 介值定理：能取到介于最小值 $m$ 与最大值 $M$ 之间的任何值。

4. 零点定理：若 $f(a)f(b)<0$，则在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一个零点 $\xi$ 使得 $f(\xi )=0$。

六、 数列极限专项

数列极限与函数极限的差异在于它只考虑 $n\to \mathrm{\infty }$。

6.1 常用准则

1. 单调有界准则：单调且有界的数列必有极限。判断递推数列类问题（$x_{n+1}=f(x_n)$）时的杀手锏。

   • 证明方法常由归纳法证明有界，由作差或作商证明单调性，最后对递推式两边取极限求出不动点。

2. 压缩映射原理 (高级估值)：如果可以通过中值定理证明 $|x_{n+1}-x_0|\le L|x_n-x_0|$，且压缩常数 $0\le L<1$，则该数列必收敛于唯一不动点 $x_0$。这比繁琐的单调性分析起效更快。

3. 夹逼定理：设 $y_n\le x_n\le z_n$，若 $lim{y}_n=lim{z}_n=A$，则 $lim{x}_n=A$。

4. 海涅定理 (归结原则)：将函数的极限问题向数列的极限问题转化的桥梁。若 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，则对任意以 $a$ 为极限的数列 $\{x_n\}$，有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$。

6.2 子列及其收敛定理的灵活应用

• 如果无穷数列收敛于某个数，那么它所有的子列都必收敛于该数。因此证明发散的一个常用手段是举反例（寻找奇数项和偶数项子列极限不同）。

• 复合函数的列极限辨析：常考题型如已知 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\cos (\sin x_n)$ 存在，辨析 $x_n$ 是否存在极限。

  • 在类似情况中，最大的冲突在于反函数不唯一所带来的不定性。即便外层值趋于一致，内层的数列仍可能在无穷远处在不同的反三角分支上跳跃而不收敛。只有类似 $e^{a_n}-e^{-a_n}$ 这种单调递增的复合结构，才可断定里层数列也必定收敛！

6.3 数列极限核心变形技巧（引自附录大招）

面对极难的离散求和或复杂递推公式考研压轴题，务必熟练掌握以下变形组合拳：

1. 加减裂项相消法：

   提取出 $a_{n+1}-a_n$ 形式。本质上是通分的逆运算，作同形分解：

   $$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$$$$\ln (1+\frac{1}{n})=\ln (n+1)-\ln n$$$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

2. 乘除连乘相消法：

   创造并连乘 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)$。最终可得通项 $a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\dots \frac{a_2}{a_1}\cdot a_1$。

3. 同除法与构造等比数列（破解一阶强递推）：

   对于常系数非齐次线性递推 $a_{n+1}=k{a}_n+f(n)$ （其中 $k\ne 0,1$），极常用的破局方式是两边同除以 $k^{n+1}$：

   $$\frac{a_{n+1}}{k^{n+1}}=\frac{a_n}{k^n}+\frac{f(n)}{k^{n+1}}$$

   即可构造出新的差分数列 $\{\frac{a_n}{k^n}\}$ 转化为前面相加法解决，彻底解出 $a_n$ 表达式再求极限。

4. 倒置法：

   将题给分子极其单一而分母错综复杂的表达式取倒数，改变结构 $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}⟹\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}+1$，由此转化为基础一阶线性递推。

---

(待续至一元函数微分学与导数应用)