高等数学·1 函数、极限与连续

考纲内容

• 函数的概念与特性（有界性、单调性、奇偶性、周期性）
• 反函数、复合函数、隐函数、初等函数的概念
• 函数极限的定义（$\epsilon$-$\delta$ 语言）
• 左极限与右极限，极限存在的充要条件
• 无穷小量与无穷大量，无穷小量的比较
• 极限的运算法则，两个重要极限
• 等价无穷小替换
• 函数的连续性，间断点的分类
• 连续函数的性质（闭区间上的最值定理、介值定理）

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一、函数的概念与特性

1. 函数的定义

设 $x$ 与 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集，若对于每一个 $x\in D$，按照一定的法则 $f$，有一个确定的 $y$ 值与之对应，则称 $y$ 为 $x$ 的函数，记作 $y=f(x)$，称 $x$ 为自变量，$y$ 为因变量，$D$ 为定义域，$\{f(x)|x\in D\}$ 为值域。

铅直画线法：若任一条铅直线与 $f(x)$ 的图像至多有一个交点，则 $f(x)$ 为单值函数。

2. 反函数

设函数 $y=f(x)$ 定义域为 $D$，值域为 $R$。若对每一个 $y\in R$，存在唯一的 $x\in D$ 使 $y=f(x)$ 成立，则这个新函数 $x=f^{-1}(y)$ 称为 $y=f(x)$ 的反函数。

• 水平画线法：任一水平线与图像至多一个交点，则有反函数。
• 严格单调函数必有反函数（充分条件）。
• 重要关系：$f[f^{-1}(x)]=x$，$f^{-1}[f(x)]=x$。

三个重要函数（常考）：

• $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$（反双曲正弦），是奇函数，其反函数为 $y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$
• $y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$（双曲正弦），奇函数
• $y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$（双曲余弦），偶函数，最小值为1

3. 复合函数

设 $y=f(u)$ 定义域为 $D_1$，$u=g(x)$ 在 $D$ 上有定义且 $g(D)\subset D_1$，则 $y=f[g(x)]$ 称为复合函数，$u$ 为中间变量。

分段函数的复合：先确定内层函数的值域，再对应外层函数的分段条件。

4. 函数的四种特性

（1）有界性

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若 $\mathrm{\exists }M>0$，使对任一 $x\in I$，有 $|f(x)|\le M$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。

注意：讨论有界性必须指明区间。如 $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ 在 $(2,+\mathrm{\infty })$ 内有界，在 $(0,2)$ 内无界。

（2）单调性

对区间 $I$ 上任意 $x_1<x_2$，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增。

定义法等价形式（常用于证明）：

$$f(x)\text{ 严格单调递增}\iff (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0,\mathrm{\forall }{x}_1\ne x_2\in I$$

（3）奇偶性

定义域 $D$ 必须关于原点对称为前提。

• 偶函数：$f(-x)=f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称
• 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称

常用结论：

• $f(x)+f(-x)$ 必为偶函数；$f(x)$ - f(-x) 必为奇函数
• 任何函数 $={\displaystyle \frac{f(x)+f(-x)}{2}}$（偶部）$+{\displaystyle \frac{f(x)-f(-x)}{2}}$（奇部）
• 内偶则偶，内奇同外：$f[\phi (x)]$ 中，若 $\phi (x)$ 为偶，则复合为偶；若 $\phi (x)$ 为奇，则复合奇偶性与 $f$ 相同
• $f(x)$ 奇 $\Rightarrow f^{\prime }(x)$ 偶 $\Rightarrow f^{″}(x)$ 奇（求导一次，奇偶性互换）
• $f(x)$ 奇 $\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)dt$ 偶
• $f(x)$ 在对称区间上连续，则奇函数在 $x=0$ 处必有 $f(0)=0$

（4）周期性

若 $\mathrm{\exists }T>0$，使对任意 $x\in D$，$f(x+T)=f(x)$，则 $f(x)$ 为以 $T$ 为周期的周期函数。

重要结论：

• 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 以 ${\displaystyle \frac{T}{|a|}}$ 为周期
• 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可导函数，则 f'(x) 也以 $T$ 为周期
• 若 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 以 $T$ 为周期的充要条件为 ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$

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二、函数极限的定义

1. 邻域

• $\delta$ 邻域：$U(x_0,\delta )=\{x||x-x_0|<\delta \}$
• 去心邻域：$\mathring{U}(x_0,\delta )=\{x|0<|x-x_0|<\delta \}$
• 左/右邻域：$U^{-}(x_0,\delta )=\{x|0<x_0-x<\delta \}$，$U^{+}(x_0,\delta )=\{x|0<x-x_0<\delta \}$

2. 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\text{ 当 }0<|x-x_0|<\delta \text{ 时，有 }|f(x)-A|<\epsilon$$

极限与函数值无关：$x\to x_0$ 时，$x\ne x_0$，极限值 $A$ 与 $f(x_0)$ 是否存在无关。

$x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限（$\epsilon$-$X$ 定义）：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,\text{ 当 }|x|>X\text{ 时，有 }|f(x)-A|<\epsilon$$

3. 左极限与右极限

$$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A^{-},\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A^{+}$$

极限存在的充要条件：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$$

典型需要分左右极限的情形：

• 含 $e^{\frac{1}{x-a}}$ 型（$e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$，$e^{-\mathrm{\infty }}=0$）
• 含 $|x-a|$ 的分式
• 含 $\arctan \frac{1}{x}$（$x\to 0^{+}$ 结果 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，$x\to 0^{-}$ 结果 $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$）
• 分段函数在分段点处

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三、极限的运算法则

1. 四则运算法则

设 $limf(x)=A$，$limg(x)=B$，则：

$$lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B,limf(x)g(x)=AB,lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

注意：若 $f(x)$ 或 $g(x)$ 极限不存在，不能拆开；必须先做实数运算，化简后再求极限。

特殊情形：

• 若 $limf(x)=0$ 且 $g(x)$ 有界（不要求极限存在），则 $limf(x)g(x)=0$
• 若 $limf(x)=A\ne 0$ 且 $limg(x)$ 不存在，则 $limf(x)g(x)$ 不存在

2. 数列极限（$\epsilon$-$N$ 定义）

设数列 $\{x_n\}$，若 $\mathrm{\exists }A$，$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{N}}^{+}$，使当 $n>N$ 时，有 $|x_n-A|<\epsilon$，则称数列 $\{x_n\}$ 的极限为 $A$，记作：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A\text{或}{x}_n\to A(n\to \mathrm{\infty })$$

数列极限与函数极限的关系（海涅定理）：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \text{对任意趋于 }{x}_0\text{ 的数列 }\{x_n\}(x_n\ne x_0)\text{，均有 }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$$

海涅定理的逆用：若能找到两个不同的趋于 $x_0$ 的数列，使对应函数值趋于不同极限，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在。

3. 极限存在准则 I：夹逼定理（三明治定理）

若 $\mathrm{\exists }\delta >0$，对 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $limg(x)=limh(x)=A$，则：

$$limf(x)=A$$

常用于含绝对值、取整函数的极限。

4. 极限存在准则 II：单调有界收敛准则

数列版：单调递增有上界（或单调递减有下界）的数列必有极限。

函数版：在 $x_0$ 某侧单调有界的函数极限存在。

典型应用：证明递推数列 $x_{n+1}=f(x_n)$ 的极限存在，再令 $n\to \mathrm{\infty }$ 求其值。

例：设 $x_1=\sqrt{2}$，$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$，证明极限存在并求值。

解题步骤：① 用数学归纳法证明 $x_n<2$（有上界）；② 证明 $x_{n+1}>x_n$（单调递增）；③ 由单调有界准则知极限 $L$ 存在；④ 令 $n\to \mathrm{\infty }$：$L=\sqrt{2+L}$$\Rightarrow$ $L=2$。

5. 两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$

第二个重要极限的变形：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e,\underset{\alpha \to 0}{lim}(1+\alpha {)}^{\frac{1}{\alpha }}=e$$

使用技巧：凡遇到 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型，将底数写为 $1+\alpha$（$\alpha \to 0$），则：

$$(1+\alpha {)}^{\frac{1}{\alpha }\cdot (\alpha \cdot \text{指数})}=e^{lim(\text{指数}\cdot \alpha )}$$

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四、无穷小量与无穷大量

1. 无穷小量

若 $limf(x)=0$，则称 $f(x)$ 为无穷小量（注意：无穷小不是很小的数，而是以0为极限的变量）。

无穷小量的比较（设 $\alpha ,\beta$ 在同一极限过程下均为无穷小量）：

结论	条件	含义
$\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小	$lim{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=0$	$\alpha$ 趋于0更快，记 $\alpha =o(\beta )$
$\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小	$lim{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=\mathrm{\infty }$
$\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶无穷小	$lim{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=c\ne 0$
$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小	$lim{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=1$	记 $\alpha \sim \beta$
$\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小	$lim{\displaystyle \frac{\alpha }{{\beta }^k}}=c\ne 0$

2. 常用等价无穷小（$x\to 0$ 时）

$$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},e^x-1\sim x,\ln (1+x)\sim x(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x,\ln (x+\sqrt{x^2+1})\sim x$$

等价无穷小替换法则：在极限的乘除因子中可以替换，但加减时不可直接替换（需展开到同阶）。

典型错误：$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$ 不能将分子中 $\tan x$ 和 $\sin x$ 分别替换为 $x$，必须展开到 $x^3$ 阶。

3. 无穷大量

若 $|f(x)|\to +\mathrm{\infty }$，则称 $f(x)$ 为无穷大量。

无穷小量与无穷大量的关系：若 $\alpha \to 0$ 且 $\alpha \ne 0$，则 ${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\to \mathrm{\infty }$；反之亦然。

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五、未定式的计算方法

1. 各类型未定式的处理

类型	处理方法
${\displaystyle \frac{0}{0}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$	等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式
$0\cdot \mathrm{\infty }$	化为 ${\displaystyle \frac{0}{1/\mathrm{\infty }}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{1/0}}$
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	通分、有理化、提公因子
$1^{\mathrm{\infty }}$	$e^{lim\ln }$，利用第二重要极限
$0^0$, ${\mathrm{\infty }}^0$	$e^{lim\ln }$

2. 洛必达法则

若 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ 型，且 $lim{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$ 存在（或为 $\pm \mathrm{\infty }$），则：

$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

使用条件：分子分母均趋于0或 $\mathrm{\infty }$；分子分母均可导；所求极限要存在（若不存在，不能反推原极限不存在）。

3. 泰勒公式（麦克劳林展开，常用到 $x^n$ 阶）

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots ,\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots (|x|<1),\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots (|x|<1)$$

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六、函数的连续性与间断点

1. 连续性的定义

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

等价地，$f(x)$ 在 $x_0$ 连续 $\iff$ $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$（增量趋于0）。

2. 间断点的分类

第一类间断点（左右极限均存在）：

• 可去间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$，但极限 $\ne f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义
• 跳跃间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$

第二类间断点（至少一侧极限不存在）：

• 无穷间断点：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，如 $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ 在 $x=0$
• 振荡间断点：极限振荡不存在，如 $f(x)=\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 在 $x=0$

3. 连续函数的性质

闭区间上连续函数的三大定理：

• 有界性与最值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 有界，且能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$
• 介值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)\ne f(b)$，则对任意介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的数 $c$，$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=c$
• 零点定理：若 $f(a)\cdot f(b)<0$，则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$（介值定理的特例）

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七、导数几何意义

$y=f(x)$ 图像在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的：

• 切线方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
• 法线方程：$y-f(x_0)=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x_0)}}(x-x_0)$

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重难点提示

函数的单射与单调性等价

定义在某区间上的连续函数是单射（一一映射）的充要条件是：它是严格单调的。

此性质可用于判断复合函数 f(f(x)) 的单调性，或快速证明某些涉及复合结构的函数方程有无实根，例如 $f(f(x))=e^{-x}$。

极限中的常见陷阱

• $e^{\frac{1}{x-a}}$ 型在 $x\to a$ 时必须分左右讨论：$x\to a^{+}$ 时为 $+\mathrm{\infty }$，$x\to a^{-}$ 时为 $0$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x$ 只有在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 和 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时均等于 $e$，所以 $x\to \mathrm{\infty }$ 时该极限 $=e$（此时两侧相同）
• 洛必达前必须确认是 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ 型，否则违规

考点汇总（来自 11408MindMap）

1. 基础

• 充要条件
• 归纳法
• 多项式乘除法*
• 取整函数*：$x-1<[x]\le x<[x]+1$
• 不等式
  • 绝对值不等式*
  • 基本不等式
  • 柯西不等式*
  • 均值不等式
• 三角函数基本公式
• 等差、等比数列
• 极坐标和参数方程
• 平移和伸缩变换

2. 函数

• 函数性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性、保号性
• 函数的自变量变换*
• 极限
  • 无穷小的比阶
  • 泰勒公式
  • 洛必达法则
  • 两个重要极限
• 间断点
  • 第一类间断点：可去间断点、跳跃间断点
  • 第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点

3. 数列极限

• 单调有界准则
• 夹逼定理
• 定积分定义
• （带拉格朗日中值定理的）压缩映射原理