03 一元函数微分学

微分学是处理函数变化率的数学工具。本章以导数与微分为核心，向外辐射到几何应用（切线、法线、曲率）、物理应用（变化率极值）以及分析学应用（中值定理、泰勒公式展开、函数性态描绘）。

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一、 导数与微分的核心定义

1.1 导数的定义

导数的起点是变化率：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

对于复杂无解析式或分段点的函数求导时，必须回归导数定义。导数存在的充要条件是：左右导数存在且相等。

• 左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

• 右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

计算进阶：回归定义的估阶与放缩

对于极复杂的抽象函数（如 $f(x)={\int }_0^x\sin \frac{1}{y}dy$ 或含有迭代关系 $x_{n+1}=\sin x_n$ 的函数），难以直接通过法则求导时，可以试图构造 $f(x)-f(h)=Ax+o(x)$，将求导转化为带限度余项的渐近线估计。如果涉及不可简单积分项，可以利用分部积分法将分母提升阶数，从而使用迫敛性或夹逼定理得出导数值（例如求出 $f^{\prime }(0)=0$）。

1.2 可导与连续的关系

• 函数在某点可导必然连续。

• 函数在某点连续不一定可导（例如绝对值函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导；含有绝对值的点也是考察不可导点的重点）。

• 一些特殊函数的导函数即便存在，也不一定连续（即所谓的导函数存在但不连续现象）。

1.3 导数极限定理与达布定理 (重点)

• 导数极限定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且极限 $\underset{x\to a^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=L$ 存在，则函数在 $a$ 点的右侧导数存在且等于 $L$。（判断端点可导性的必杀技）

• 达布定理 (导数的介值定理)：若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，则它的导函数 $f^{\prime }(x)$ 具有介值性。即使导函数 $f^{\prime }(x)$ 不连续，它也必定能取到介于 $f^{\prime }(a)$ 与 $f^{\prime }(b)$ 之间的任何值。

1.3 微分的概念

微分的定义式：$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$。

当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，$dy=f^{\prime }(x)dx$ 为 $\mathrm{\Delta }y$ 的线性主部。可微与可导在一元函数中是完全等价的。

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二、 核心求导法则与技巧

求导贯穿考研始终，除了基本初等函数求导公式外，必须熟练以下高阶与隐式求导。

2.1 反函数求导

若 $y=f(x)$ 具有反函数 $x=f^{-1}(y)$，且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则反函数的导数：

• 一阶导：

  $$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}=\frac{dx}{dy}$$

• 二阶导（极易错项）：直接对一阶导再次求导，同时附带链式法则。

  $$(f^{-1}{)}^{″}(y)=\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{f^{″}(x)}{[f^{\prime }(x){]}^3}$$

2.2 参数方程求导

设 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$，当 $x^{\prime }(t)\ne 0$ 时：

• 第一阶导数： $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$

• 第二阶导数： $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}\right)}{x^{\prime }(t)}=\frac{x^{\prime }(t)y^{″}(t)-y^{\prime }(t)x^{″}(t)}{[x^{\prime }(t){]}^3}$

2.3 导函数与奇偶性的关系

口诀：求导一次，奇偶性改变一次。

• 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f^{\prime }(x)$ 为偶函数。

• 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f^{\prime }(x)$ 为奇函数。

• 注意：若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可导函数，则 $f^{\prime }(x)$ 也是以 $T$ 为周期的函数。

2.4 幂指函数求导法则 (对数求导法)

针对底数和指数同时含自变量 $x$ 的结构 $y=f(x{)}^{g(x)}$，直接求导极为容易出错。核心做法是先两边取对数再隐函数求导：

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

求导得出：$\frac{y^{\prime }}{y}=g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$，最后将 $y$ 乘过去解出 $y^{\prime }$。

（技巧：在许多求极限题目中，遇到 $u(x{)}^{v(x)}$ 直接写成 $e^{v(x)\ln u(x)}$ 会更具有普适性。）

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三、 微分学几何与物理应用

3.1 几何意义与切法线方程

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的：

• 切线方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

• 法线方程：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$ （要求 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$）

3.2 弧微分

弧微分 $ds$ 是定积分求解弧长的基石量：

• 直角坐标 $y=f(x)$： $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

• 参数方程 $(x(t),y(t))$： $ds=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

• 极坐标 $r=r(\theta )$： $ds=\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta$

3.3 曲率与曲率半径

曲率 $K$ 描述一段曲线偏离平直的程度，其值恒大于等于0（绝对值符号！）：

$$K=\frac{|y^{″}|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

在参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$ 下：

$$K=\frac{|x^{\prime }(t)y^{″}(t)-y^{\prime }(t)x^{″}(t)|}{[x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2{]}^{3/2}}$$

曲率半径 $R$ 是曲率圆的半径，为曲率的倒数：$R=\frac{1}{K}$。

3.4 物理与生活应用

利用导数描述动点运动速度、水面高度上升速率（水池体积模型）等，本质上是列出带含时参数变量 $t$ 的相关变化率方程，并在特定瞬间取导数值。

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四、 中值定理家族与泰勒公式

考研的压轴大戏之一就是中值定理及其在不等式和方程求根中的应用。

4.1 三大微分中值定理

1. 罗尔 (Rolle) 定理：如果在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，那么必然存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

   • （核心：导数存在零点的依据。可以引出推论：若 $n$ 阶导函数无零点，原函数最多只有 $n$ 个零点。）

2. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理：在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得：

   $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$
   • （核心：将函数差值转化为导数估计值的桥梁。解决不等式证明的利器。）

3. 柯西 (Cauchy) 中值定理：设有 $f(x)$ 和 $g(x)$ 两个函数，同时满足可导条件且 $g^{\prime }(x)\ne 0$，则存在 $\xi$ 使得：

   $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

【重要】中值定理大题证明套路全解

一、 单中值证明

• 若为一阶导数，使用微分方程法原函数构造法，然后应用罗尔定理。

  大题中看到极其复杂的等式，首先将其所有项移到一侧凑为 $0$，接着寻找导数与原函数间的对应关系。以下是构造辅助函数的必背核武器：

  • 看见 $f(x)f^{″}(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=0$，立刻构造 $F(x)=f(x)f^{\prime }(x)$，即 $(f(x)f^{\prime }(x){)}^{\prime }=0$。

  • 看见 $f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)f(x)=0$，立刻乘以神奇因子 $e^{g(x)}$ 构造 $F(x)=e^{g(x)}f(x)$，即 $(e^{g(x)}f(x){)}^{\prime }=0$。（特例：看见 $f^{\prime }(x)+f(x)$ 则乘以 $e^x$）。

• 若为高阶导数，且跨越多阶导数，则优先考虑 泰勒公式。一般被展开点取区间中点或端点。

二、 多中值证明

1. 双中值相等（同时存在 $\xi$）

   • 看见 $f(b)-f(a)$ 优先拉格朗日。

   • 证明体含有 $b-a$ 且无 $f(b)-f(a)$，大体是一次拉格朗日结合一次柯西中值（交叉抵消）。

   • 若式中无 $b-a$，很可能是两次拉格朗日或两次柯西定理。

2. 双中值不等（分别存在 $\xi ,\eta$）

   • 当题目要求不同中值时，若有两问，第一问求出的中值往往是第二问分割区间的临界点。

   • 分别在划分开的两个子区间各用一次中值定理。

4.2 泰勒 (Taylor) 公式

使用多项式逼近函数，极大拓展了求极限、等阶代替的能力。

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

重点余项表示：

• 皮亚诺 (Peano) 余项：$o((x-x_0{)}^n)$。用于求极限时的局部估计。

• 拉格朗日 (Lagrange) 余项：$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$，其中 $\xi$ 在 $x$ 和 $x_0$ 之间。用于中值定理证明与不等式截断。

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五、 函数图像的描绘与性态分析

这部分常常作为大题的其中一问，或者要求作为复杂积分的基础画图步骤。

1. 极值点：$f^{\prime }(x)=0$（驻点）或者 $f^{\prime }(x)$ 不存在点是极大（小）值点的疑似点。必须验证在点两侧一阶导数的正负符号是否变号（或者带入二阶导 $f^{″}(x)>0\Rightarrow$ 极小值，$f^{″}(x)<0\Rightarrow$ 极大值）。

2. 凹凸性与拐点：

   • 当 $f^{″}(x)>0$，函数图像在 $(a,b)$ 上是凹的（如 $y=x^2$）。

   • 当 $f^{″}(x)<0$，函数图像在 $(a,b)$ 上是凸的（如 $y=-x^2$）。

   • 拐点是凹凸性发生变化的交界点 $(x_0,f(x_0))$，注意拐点是一个坐标点，而极值点是一个 $x$ 坐标值。

3. 渐近线（极重要）：

   • 铅直渐近线：找函数无定义的奇点 $x_0$，若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，则 $x=x_0$ 为铅直渐近线。

   • 水平渐近线：若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，则 $y=A$ 为水平渐近线。

   • 斜渐近线：若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$，且 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]=b$，存在斜渐近线 $y=ax+b$。

   计算优先级

   一旦 $x\to +\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ 存在水平渐近线，同一侧就不可能再存在斜渐近线！一定要先分别检查 $x\to +\mathrm{\infty }$ 和 $-\mathrm{\infty }$ 两向。