高等数学·2 一元函数微分学

考纲内容

• 导数与微分的概念，导数与微分的关系
• 导数的几何意义
• 函数的可导性与连续性的关系
• 平面曲线的切线和法线
• 导数和微分的四则运算
• 基本求导公式
• 复合函数、反函数、隐函数及参数方程的求导
• 高阶导数
• 微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒）
• 洛必达法则
• 函数的单调性、极值、凹凸性与拐点
• 弧微分与曲率

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一、导数的概念

1. 导数的定义

设 $y=f(x)$ 定义在区间 $I$ 上，$x_0\in I$，若极限

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数。

等价形式（令 $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$）：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

2. 左导数与右导数

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x},f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

可导的充要条件：$f^{\prime }(x_0)$ 存在 $\iff$ $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 与 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 均存在且相等。

3. 可导与连续的关系

• 可导 $\Rightarrow$ 连续（必要条件）
• 连续 $\nRightarrow$ 可导（如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）

导数的奇偶性与周期性：

条件	结论
$f(x)$ 可导且为偶函数	f'(x) 为奇函数
$f(x)$ 可导且为奇函数	f'(x) 为偶函数
$f(x)$ 可导，以 $T$ 为周期	f'(x) 也以 $T$ 为周期
$f(x)$ 可导，奇函数	$f^{″}(0)=0$

每求导一次，奇偶性互换一次（奇→偶→奇→偶…）

4. 导数的几何意义

$y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处：

• 切线斜率：$k=f^{\prime }(x_0)$
• 切线方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
• 法线方程：$y-f(x_0)=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x_0)}}(x-x_0)$（当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$）

当 $f^{\prime }(x_0)=0$ 时，切线为水平线；当 $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{\infty }$ 时，切线为铅直线（此时不可导）。

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二、导数的计算

1. 基本求导公式

$$\begin{gathered} (x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1},(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,(e^x{)}^{\prime }=e^x \\ (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a} \\ (\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x \\ (\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x \\ (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2} \end{gathered}$$

2. 求导法则

四则运算：

$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime },(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

复合函数（链式法则）：

$$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

反函数：若 $y=f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也可导：

$$[f^{-1}(y){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

隐函数：方程 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$，两边对 $x$ 求导（$y$ 视为 $x$ 的函数），解出 y'。

参数方程：设 $\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$，则 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}}$，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}={\displaystyle \frac{[{\psi }^{\prime }(t)/{\varphi }^{\prime }(t){]}_t^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }(t)}}$

对数求导法：适用于幂指型 $y=u^v$ 或多项相乘的形式，先取对数再求导。

3. 高阶导数

莱布尼茨公式（乘积的 $n$ 阶导数）：

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

常用高阶导数：

$$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2}),(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax},(\ln x{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}$$

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三、微分

1. 微分的定义

若 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，$\mathrm{d}y=A\mathrm{\Delta }x$ 为微分，其中 $A=f^{\prime }(x_0)$，故：

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$$

可导 $\iff$ 可微（一元函数中等价）。

2. 一阶微分形式不变性

无论 $u$ 是自变量还是中间变量：

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$

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四、微分中值定理

1. 罗尔定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

2. 拉格朗日中值定理（有限增量定理）

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$$

推论：若 $f^{\prime }(x)\equiv 0$，则 $f(x)=C$（常数）。

3. 柯西中值定理

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 上可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$，则：

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )},\xi \in (a,b)$$

洛必达法则的理论基础。

4. 泰勒定理

带拉格朗日余项的泰勒公式：

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中余项 $R_n(x)={\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1}$，$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。

取 $x_0=0$ 得麦克劳林公式（在极限计算中高频使用）。

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五、函数的单调性与极值

1. 单调性判别

• $f^{\prime }(x)>0$，$x\in (a,b)$ $\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增
• $f^{\prime }(x)<0$，$x\in (a,b)$ $\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减

2. 极值的必要与充分条件

必要条件：若 $f^{\prime }(x_0)$ 存在且 $x_0$ 为极值点，则 $f^{\prime }(x_0)=0$（驻点，但驻点不一定是极值点）。

第一充分条件：f'(x) 在 $x_0$ 两侧异号 $\Rightarrow$ $x_0$ 为极值点。

第二充分条件：若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{″}(x_0)\ne 0$：

• $f^{″}(x_0)<0$ $\Rightarrow$ $x_0$ 为极大值点
• $f^{″}(x_0)>0$ $\Rightarrow$ $x_0$ 为极小值点

3. 凹凸性与拐点

• $f^{″}(x)>0$，$x\in (a,b)$ $\Rightarrow$ 曲线在 $(a,b)$ 上为凹弧（下凸）
• $f^{″}(x)<0$，$x\in (a,b)$ $\Rightarrow$ 曲线在 $(a,b)$ 上为凸弧（上凸）
• 拐点：f''(x) 变号的点（$f^{″}(x_0)=0$ 或不存在，且两侧 f'' 异号）

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六、导数的物理意义与函数图形描绘

1. 导数的物理意义

导数是瞬时变化率的数学抽象：

物理量	导数含义
位移 $s(t)$	$s^{\prime }(t)=v(t)$（瞬时速度）
速度 $v(t)$	$v^{\prime }(t)=a(t)$（瞬时加速度）
电荷量 $q(t)$	$q^{\prime }(t)=i(t)$（电流强度）
线密度 $m(x)$	m'(x)（线密度在该点的值）

2. 函数的渐近线

1. 水平渐近线

若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$（$A$ 为有限数），则 $y=A$ 为水平渐近线。

2. 铅直渐近线

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$（即某点处函数趋于无穷），则 $x=x_0$ 为铅直渐近线。

找法：优先检查分母为零的点、对数定义域边界、绝对值内为零的点。

3. 斜渐近线

若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=k\ne 0$，且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]=b$，则 $y=kx+b$ 为斜渐近线（$x\to -\mathrm{\infty }$ 同理）。

注意：水平渐近线是斜渐近线中 $k=0$ 的特殊情况，同一趋向（如 $x\to +\mathrm{\infty }$）上水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。

典型例：$f(x)=x+\arctan x$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=1,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-x]=\frac{\pi }{2}$$

故斜渐近线为 $y=x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$（$x\to +\mathrm{\infty }$），$y=x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$（$x\to -\mathrm{\infty }$）。

3. 函数图形描绘步骤

完整步骤（考试大题标准流程）：

1. 确定定义域（含奇偶性、周期性）
2. 求一阶导 f'(x)，令 $f^{\prime }(x)=0$ 找驻点，令 f'(x) 不存在找不可导点，列出单调区间和极值
3. 求二阶导 f''(x)，令 $f^{″}(x)=0$ 找可能拐点，确定凹凸区间和拐点
4. 求渐近线：水平、铅直、斜
5. 描点作图：先画渐近线，再标极值点、拐点，最后连线

4. 最大值与最小值

闭区间 $[a,b]$ 上最大最小值求法：

1. 求 $f^{\prime }(x)=0$ 的驻点和 f'(x) 不存在的点（全部在 $(a,b)$ 内）
2. 比较所有驻点、不可导点及端点 $a,b$ 处的函数值
3. 最大者为最大值，最小者为最小值

开区间/实际应用问题：

• 若开区间内唯一极值点为极大值点，则它就是最大值（不需比较端点）
• 建立目标函数 → 求导 → 令导数为零求驻点 → 验证极值性质 → 给出答案（含单位）

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七、弧微分与曲率

1. 弧微分

曲线 $y=f(x)$ 上的弧微分：

$$ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

参数形式 $\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$：

$$ds=\sqrt{[{\varphi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$

2. 曲率

曲率$\kappa$ 描述曲线的弯曲程度：

$$\kappa =\frac{|f^{″}(x)|}{[1+(f^{\prime }(x){)}^2{]}^{3/2}}$$

参数形式：

$$\kappa =\frac{|x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

曲率半径：$R={\displaystyle \frac{1}{\kappa }}$，曲率圆（密切圆）半径即为 $R$。

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重难点提示

"导数为零不等于极值点"

$f^{\prime }(x_0)=0$ 只是极值存在的必要条件，不是充分条件。如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处 $f^{\prime }(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点（而是拐点）。

不可导点也可能是极值点

如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，但 $x=0$ 是极小值点。

利用奇偶性快速处理高阶导数

若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f^{″}(0)=0$（因 $f^{″}$ 为奇函数）；若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f^{\prime }(0)=0$（因 $f^{\prime }$ 为奇函数）。