05 向量代数与空间解析几何

本章是多元函数微积分研究的几何基础。考研数学一中，本章通常不单独出证明大题，而是作为第一型、第二型曲线/曲面积分、散度旋度计算的最底层工具！如果连二次曲面的方程形式和平面法向量都看不出，后续章节将无从谈起。

一、向量的基础运算

1.1 数量积（点乘）

定义： $a \cdot b = | a | | b | \cos θ$
坐标表示： $a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$
几何意义与条件：用于求两向量夹角。 $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$ 。
重要基础不等式：
- 柯西-施瓦茨不等式： $| a \cdot b | \leq | a | | b |$
- 向量三角不等式： $| | a | - | b | | \leq | a \pm b | \leq | a | + | b |$

1.2 向量积（叉乘）

定义：大小为 $| a \times b | = | a | | b | \sin θ$ ，方向符合右手定则，且同时垂直于 $a$ 和 $b$ 。
坐标表示：
$a \times b = | \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$
速记法（23-31-12型）：$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\mathbf{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\mathbf{k} $
几何意义与条件：模长代表以这两向量为邻边的平行四边形面积。 $a ∥ b ⟺ a \times b = 0$ 。
注意： $a \times b = - b \times a$ 。绝不满足交换律。并且自乘为零向量： $a \times a = 0$ 。

1.3 混合积

定义： $[a b c] = (a \times b) \cdot c$ 。
坐标表示：
$[a b c] = | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{matrix} |$
几何意义与条件：绝对值代表以这三个向量为棱的平行六面体体积。三向量共面的充要条件是 $[a b c] = 0$ 。

1.4 方向数与方向余弦

设非零向量 $a = (x, y, z)$ ，其方向角分别为 $α, β, γ$ ，则：

\cos α = \frac{x}{| a |}, \cos β = \frac{y}{| a |}, \cos γ = \frac{z}{| a |}

重要的恒等式： $\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1$ 。

单位方向向量为： $a^{\circ} = (\cos α, \cos β, \cos γ)$ 。

二、空间平面与直线的方程

空间几何的核心是寻找特征向量：平面的法向量（ $n$ ）、直线的方向向量（ $s$ ）。

2.1 平面方程

点法式方程：过点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法向量为 $n = (A, B, C)$ 。
$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$
一般方程：
$A x + B y + C z + D = 0$
- 若 $D = 0$ ，平面过原点。
- 若 $C = 0$ ，特征向量里缺 $z$ ，则该平面平行于 $z$ 轴。
截距式方程：
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
三点式方程：由平面上不平行的三个点 $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 构成的向量的混合积为零。
$| \begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix} | = 0$

2.2 空间直线的方程

点向式（对称式）方程：过点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，方向向量 $s = (m, n, p)$ 。
$\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$
- （若分母有一个为0，则分子必须恒为0）。
参数方程（对称式直接导出，积分变量代换最常用）：
${\begin{cases} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \\ z = z_{0} + p t \end{cases}$
一般方程（两平面的交线）：
${\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases}$
- （求该直线的方向向量方法： $s = n_{1} \times n_{2}$ ）。

2.3 夹角公式与距离公式

夹角：
- 线与线夹角（ $θ$ ）： $\cos θ = \frac{| s_{1} \cdot s_{2} |}{| s_{1} | | s_{2} |}$
- 面与面夹角（ $θ$ ）： $\cos θ = \frac{| n_{1} \cdot n_{2} |}{| n_{1} | | n_{2} |}$
- 线与面夹角（ $θ$ ）：注意此时算出来的是线与法向量夹角的余角！因此：
  $\sin θ = \frac{| s \cdot n |}{| s | | n |}$
点到直线的距离：
若点为 $M_{1}$ ，直线上含点 $M_{0}$ ，方向向量为 $s$ ，利用平四柱面图： $d = \frac{| M_{0} M_{1} \times s |}{| s |}$ 。
点到平面的距离（投影法）：
点 $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ，到平面 $A x + B y + C z + D = 0$ （法向量 $n$ ），在法向上的投影长度： $d = \frac{| M_{0} M_{1} \cdot n |}{| n |}$
从而： $d = \frac{| A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ 。

直线平面交角与平行垂直的陷阱

线与线平行：方向向量同向。面与面平行：法向量同向。

线与面平行：方向向量与法向量垂直（即 $s \cdot n = 0$ ）。关系是反过来的！

三、空间曲面及其方程

必须具备看方程立刻在大脑里“捏”出对应三维图形的能力。

3.1 柱面方程

缺少某个坐标变量的方程，表示其母线平行于该坐标轴的柱面。

例如： $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 表示母线平行于 $z$ 轴的圆柱面。 $y = x^{2}$ 表示抛物柱面。

3.2 旋转曲面方程

坐标面上一段曲线绕该面上某坐标轴旋转一圈形成的曲面。

法则：绕哪个轴转，该变量不动，另一个变量变成剩余两个变量的平方和的算术平方根。

曲线 ${\begin{cases} f (y, z) = 0 \\ x = 0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转：将 $y$ 替换为 $\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，得 $f (\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) = 0$ 。

3.3 经典二次曲面大全（截痕法）

在考研重积分时高频出现的三大类曲面：

椭球面：
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
特别是当 $a = b = c = R$ 时为球面。
锥面（椭圆锥面）：
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$
图形是在原点对接的上下相通的两个漏斗（如果带根号，如 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，则仅指上半锥面）。
抛物面系列：
- 椭圆抛物面（碗形）：$$ \frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z \quad (p,q 同号) $$
  常出现为 $z = x^{2} + y^{2}$ 。
- 双曲抛物面（马鞍面）：$$ \frac{x^2}{2p} - \frac{y^2}{2q} = z $$
双曲面系列（了解即可，积分考察较少）：
- 单叶双曲面（像核电站冷却塔，有一个负号）： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
- 双叶双曲面（被切断的两个壳，有两个负号）： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$

四、空间曲线及其投影方程

一般交线方程比较繁琐，而在计算多重积分时，通常需要求空间立体在 $x O y$ 面内的投影区域！

若空间曲线一般方程为：

{\begin{cases} F (x, y, z) = 0 \\ G (x, y, z) = 0 \end{cases}

求其在 $x O y$ 平面上的投影柱面方程：将上述两式联立，消去 $z$ 变量，得到 $H (x, y) = 0$ 。

则该投影曲线可以表示为：

{\begin{cases} H (x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}

那么，不等式内部的对应区域就是以后用来做二重积分积分域 $D_{x y}$ 的范围！

4.2 形心坐标速记

空间立体 $Ω$ （体积为 $V$ ）的形心坐标：

\bar{x} = \frac{∭_{Ω} x d V}{V}, \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y d V}{V}, \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z d V}{V}

05 向量代数与空间解析几何 ​

一、 向量的基础运算 ​

1.1 数量积（点乘） ​

1.2 向量积（叉乘） ​

1.3 混合积 ​

1.4 方向数与方向余弦 ​

二、 空间平面与直线的方程 ​

2.1 平面方程 ​

2.2 空间直线的方程 ​

2.3 夹角公式与距离公式 ​

三、 空间曲面及其方程 ​

3.1 柱面方程 ​

3.2 旋转曲面方程 ​

3.3 经典二次曲面大全（截痕法） ​

四、 空间曲线及其投影方程 ​

4.2 形心坐标速记 ​