高等数学·5 多元函数微分学

考纲内容

• 多元函数的概念
• 二元函数的几何意义
• 二元函数的极限与连续的概念
• 有界闭区域上多元连续函数的性质
• 多元函数的偏导数和全微分
• 全微分存在的必要条件和充分条件
• 多元复合函数
• 隐函数的求导法
• 二阶偏导数
• 方向导数和梯度
• 空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线
• 二元函数的二阶泰勒公式
• 多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用

一、多元函数的基本概念

1. 平面点集

1. 平面点的邻域

平面点的邻域：设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 xOy 平面上的一个点，$\delta \in (0,+\mathrm{\infty })$，与点 $P_0$ 的距离小于 $\delta$ 的所有点 $P(x,y)$ 的集合称作 $P_0$ 的邻域，记作 $U(P_0,\delta )$。其等价定义有：

$$\begin{gathered} U(P_0,\delta )=\{P||P{P}_0|<\delta \} \\ U(P_0,\delta )=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \} \end{gathered}$$

2. 点与点集的关系

任意一点 $P\in {\mathbb{R}}^2$ 与任意一个点集 $E\subset {\mathbb{R}}^2$ 必然有以下三种关系之一：

• 内点：存在点 $P$ 的一个邻域 $U(P)\subset E$，则称 $P$ 为 $E$ 的内点
• 外点：存在点 $P$ 的一个邻域 $U(P)\cap E=\varnothing$，则称 $P$ 为 $E$ 的外点
• 边界点：对于任意 $P$ 的邻域 $U(P)$ ，既含有属于 $E$ 的点，又含有不属于 $E$ 的点，就称 $P$ 为 $E$ 的边界点。

$E$ 的边界点的全体，称作 $E$ 的边界，记为 $\partial E$（边界点未必是点集 $E$ 内的点，也就是 < 和 ≤ 的区别）

如果 $P$ 的任一去心邻域中总有 $E$ 中的点，则称 $P$ 是 $E$ 的聚点，聚点包括内点和边界点

3. 点集相关概念的定义

• 开集：如果点 $E$ 的点都是 $E$ 的内点，称 $E$ 为开集（类别开区间）

• 闭集：如果点集 $E$ 的边界 $\partial E\subset E$，则称 $E$ 为闭集（类比闭区间）

  注意：$\{(x,y)|1<x^2+y^2\le 2\}$ 并非开集也并非闭集，因此命题“一个点集不是开集就是闭集”是错误的

• 连通集：如果点集 $E$ 内的任意两点都可以用折线连接起来，且该折线上的任何点都 $\in E$，则称 $E$ 为连通集

• 区域：连通的开集称为区域或者开区域

• 闭区域：连通的闭集称为闭区域

• 有界集：对于平面点集 $E$，如果 $\mathrm{\exists }r>0,E\subset U(O,r)$，其中 $O$ 是坐标原点，则称 $E$ 是有界集

• 无界集：一个点集如果不是有界集，那就是无界集

举例：

• $\{(x,y)|1\le x^2+y^2\le 2\}$ 是无界闭区域
• $\{(x,y)|x+y>0\}$ 是无界开区域
• $\{(x,y)|x+y\ge 0\}$ 是无界闭区域

2. 多元函数的概念

考纲摘要：

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义
2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质

1. 多元函数的定义

设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个非空子集，称映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，记作：

$$\begin{gathered} z=f(x,y),(x,y)\in D \\ z=f(P),P\in D \end{gathered}$$

其中点集 $P$ 就是函数的定义域，$x,y$ 是自变量，$z$ 是因变量，而值域可以定义为：

$$f(D)=\{z|z=f(x,y),(x,y)\in D\}$$

2. 二元函数的极限

假设二元函数 $z=f(x,y)$ 的定义域是 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点，如果

$$\mathrm{\exists }A,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }(x,y)\in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta ),|f(x,y)-A|<\epsilon$$

就称 $A$ 是函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时的极限，记作：

$$\begin{gathered} \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A \\ \underset{P\to P_0}{lim}f(P)=A \end{gathered}$$

就称之为二重极限

关于二元函数的极限，需要注意的是，当 $x,y$ 以任意方式趋于 $P_0$ 时（例如沿着曲线 $y=f(x)$ 趋向 $P_0$，当然，这个曲线需要包含 $P_0$ ），极限均存在且相等，才能说该二元函数在 $P_0$ 处的极限存在。

一个例子：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$

尝试计算

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)$$

如果 $x,y$ 沿着直线 $y=kx$ 趋于 $(0,0)$，则：

$$\underset{\begin{array}{c}(x,y)\to (0,0)\\ y=kx\end{array}}{lim}\frac{xy}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{k{x}^2}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$$

因此，这个极限是不存在的。

3. 多元函数的连续性

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点，且 $P_0\in D$，如果：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

则称 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处连续。如果 $f(x,y)$ 在 $D$ 的每一点上都连续，就称它在 $D$ 上连续。如果 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 不连续，那么称 $P_0(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的间断点。

多元初等函数在它们的定义区域内都是连续的。

有界闭区间上连续的多元函数的性质：

• 有界性与最大值最小值定理：有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数，必定在 $D$ 上有界，且能取得其最大值和最小值

• 介值定理：有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定可以取得最大值和最小值间的任意值

• 一致连续性定理：有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定在 $D$ 上一致连续。所谓一致连续就是：

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }{P}_1,P_2\in D,|P_1{P}_2|<\delta \to |f(P_1)-f(P_2)|<\epsilon$$

二、偏导数

1. 偏导数的定义

考纲摘要：理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

定义式：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

记作：

$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{x=x_0,y=y_0}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=x_0,y=y_0}=z_x{|}_{x=x_0,y=y_0}=F_x^{\prime }(x_0,y_0)$$

这样，

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}=z_x=F_x^{\prime }(x,y)$$

就记作对自变量x的偏导函数，简称偏导数

由于一元函数的”趋近“，只有两个方向，因此导数在某点存在是函数在某点连续的充分条件 但是二元函数的”趋近“有无限个方向，因此偏导数在某点存在只是函数在某点某方向存在偏导，与函数的连续性没有直接关系

2. 高阶偏导数

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)\\ & \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)\\ & \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)\\ & \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)\end{array}$$

其中第二个和第三个称作混合偏导数。

如果两个混合偏导数在同一区域内连续，那么两个混合偏导数相等，在这种情况下，高阶偏导数与求导顺序无关

三、全微分

考纲摘要：理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

由偏导数的定义，可知：

$$\begin{gathered} f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)\approx F_x^{\prime }(x,y)\mathrm{\Delta }x \\ f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)\approx F_y^{\prime }(x,y)\mathrm{\Delta }y \end{gathered}$$

• 两式的左边分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的偏增量
• 两式的右边分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的偏微分

1. 全微分的定义

全增量与全微分的定义如下：

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，如果函数在点 $(x,y)$ 的全增量$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$ 可以表示为：

$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$$

其中，$A,B$ 不依赖于 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$，只与 $x,y$ 有关，则称函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微分，而 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 称作函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 上的全微分，记作 $\mathrm{d}z$，即 $\mathrm{d}z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，则函数在这个点上必定连续

2. 全微分的性质

• 如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微分，那么该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且全微分为：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{\Delta }y$$

• 如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，那么函数在该点可微分

通过以上性质，我们一般将全微分的形式写成：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$$

这叫做叠加原理，对于多元函数 $u=f(x_1,x_2,...,x_n)$，其全微分也可以写成：

$$\mathrm{d}u=\sum _{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i$$

3. 例题

设 $z=f(x,y)$ 连续且

$$\underset{x\to 1,y\to 0}{lim}\frac{f(x,y)-2x+y}{(x-1{)}^2+y^2}=0$$

求 $\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}$

设 $\rho =\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$，由于函数的连续性，可以推知 $f(1,0)=2$，且有：

$$\begin{gathered} f(x,y)-2x+y=o(\rho ) \\ f(x,y)=2x-y+o(\rho ) \\ f(x,y)-2=2x-y+o(\rho )-2 \\ f(x,y)-f(1,0)=2(x-1)-(y-0)+o(\rho )=\mathrm{\Delta }z \end{gathered}$$

由可微的定义可知，$\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$

四、多元复合函数的求导法则

考纲摘要：掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法

1. 一元函数与多元函数复合的情形

如果函数 $u=\phi (t)$ 及 $v=\psi (t)$ 都在点 $t$ 可导，函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 具有连续偏导数，

那么复合函数 $z=f(\phi (t),\psi (t))$ 在点 $t$ 可导，有：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

根据全微分的的定义式，有：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$$

$\mathrm{d}t$ 是全微分，可以进行四则运算，因此有：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

这样的导数也称为全导数

2. 多元函数与多元函数复合的情形

如果函数 $u=\phi (x,y)$ 及 $v=\psi (x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 具有连续偏导数，

那么复合函数 $z=f[\phi (x,y),\psi (x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 的两个偏导数都存在，且有：

$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{gathered}$$

3. 混合情形

如果函数 $u=\phi (x,y)$ 在点 $(x,y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $v=\psi (y)$ 在点 $y$ 可导

函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 具有连续偏导数，那么复合函数 $z=f[\phi (x,y),\psi (y)]$ 在点 $(x,y)$ 的两个偏导数都存在：

$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} \end{gathered}$$

还有一种特殊情况：

$$\begin{gathered} z=f(u,x,y)=f[\varphi (x,y),x,y] \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}, \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y} \end{gathered}$$

注意：$\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 是不同的，因为 $z$ 可以看作是与 $x$ 和 $y$ 有关的二元函数，而 $f$ 可以看作是与 $u,x,y$ 有关的三元函数

4. 全微分形式不变性

设函数 $z=f(u,v)$ 具有连续偏导数，则有全微分：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$$

如果 $u=\varphi (x,y)$, $v=\psi (x,y)$，则：

$$\begin{gathered} \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y= \\ (\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})\mathrm{d}x+(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})\mathrm{d}y= \\ \frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y)+\frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y)= \\ \frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v \end{gathered}$$

$u$ 和 $v$ 无论是自变量还是中间变量，其全微分的形式都是一样的，这个性质就叫做全微分形式不变性

五、隐函数求导

考纲摘要：了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数

1. 一个方程确定的函数

1. 隐函数存在定理1

设函数 $F(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0)=0,F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$ 则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它满足条件 $y_0=f(x_0)$，并有：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$$

这是因为：

$$\begin{gathered} F(x,y)=F(x,f(x))=0 \\ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }} \end{gathered}$$

2. 隐函数存在定理2

设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$ 则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，它满足条件 $z_0=f(x_0,y_0)$，且有：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z}$$

这是因为，如果我们对 $F(x,y,z)=0$ 的等式两侧分别求 $x$ 的偏导，会产生如下的方程：

$$F_x^{\prime }+F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0$$

2. 方程组的情形

考虑以下方程组：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$$

设 $F(x,y,u,v)$，$G(x,y,u,v)$ 在点 $P(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内具有对各个变量的偏导数，又 $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$，

且偏导数组成的函数行列式（Jacobi 式）

$$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|$$

在点 $P(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 处不为 0，则上面的方程组在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内可以唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $u=u(x,y),v=v(x,y)$，满足条件 $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$，并有：

$$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_x^{\prime }& F_v\\ G_x& G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|} \\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_x^{\prime }\\ G_u& G_x\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\prime }& F_v\\ G_y& G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|} \\ \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_y^{\prime }\\ G_u& G_y\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|} \end{gathered}$$

这里，对求导公式的推导十分具有参考意义：

书中原文是“对恒等式两边分别对 $x$ 求导，把 $u$ 和 $v$ 都看作是关于 $x$ 和 $y$ 的二元函数，因此有：

$$F[x,y,u(x,y),v(x,y)]\equiv 0,G[x,y,u(x,y),v(x,y)]\equiv 0$$

那么”对 $x$ 求导“的意思就是，把 $F[x,y,u(x,y),v(x,y)]$ 看作是 $f(x,y)$ ，然后求 $F_x^{\prime }$

因此，对方程组的求导结果就是（注意 $F_x^{\prime }$ 与 $F_x^{\prime }$ 的区别）：

$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_u\frac{\partial u}{\partial x}+F_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ G_x+G_u\frac{\partial u}{\partial x}+G_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{array}$$

将其写成矩阵方程的形式：

$$\left[\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-F_x^{\prime }\\ -G_x\end{array}\right]$$

利用克拉默法则即可轻易求得 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}$，而 Jacobi 行列式正是这里的系数矩阵

3. 例题

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设 $z=\phi (x,y),y+z=\phi (x+z)$，求 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$

$$\begin{gathered} \mathrm{d}z={\phi }_1^{\prime }\mathrm{d}x+{\phi }_2^{\prime }\mathrm{d}y,\mathrm{d}y+\mathrm{d}z=(\mathrm{d}x+\mathrm{d}z){\phi }^{\prime } \\ \mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}z-{\phi }_1^{\prime }\mathrm{d}x}{{\phi }_2^{\prime }},\frac{\mathrm{d}z-{\phi }_1^{\prime }\mathrm{d}x}{{\phi }_2^{\prime }}+\mathrm{d}z=(\mathrm{d}x+\mathrm{d}z){\phi }^{\prime } \\ \mathrm{d}z(\frac{1}{{\phi }_2^{\prime }}+1-{\phi }^{\prime })=\mathrm{d}x({\phi }^{\prime }+\frac{{\phi }_1^{\prime }}{{\phi }_2^{\prime }}),\mathrm{d}z(1+{\phi }_2^{\prime }-{\phi }^{\prime }{\phi }_2^{\prime })=\mathrm{d}x({\phi }^{\prime }{\phi }_2^{\prime }+{\phi }_1^{\prime }) \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{{\phi }^{\prime }{\phi }_2^{\prime }+{\phi }_1^{\prime }}{1+{\phi }_2^{\prime }-{\phi }^{\prime }{\phi }_2^{\prime }} \end{gathered}$$

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设 $xz+e^x=yz$ 确定 $z=z(x,y)$，求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$

首先在方程的左右分别求 $x,y$ 的偏导：

$$\begin{gathered} z+x\frac{\partial z}{\partial x}+e^z\frac{\partial z}{\partial x}=y\frac{\partial z}{\partial x} \\ x\frac{\partial z}{\partial y}+e^z\frac{\partial z}{\partial y}=z+y\frac{\partial z}{\partial y} \end{gathered}$$

可得：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{y-x-e^z},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{x+e^z-y}$$

然后再在方程的左右分别求 $y$ 的偏导：

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\frac{\partial z}{\partial y}(y-x-e^x)-z(1-e^x\frac{\partial z}{\partial y})}{(y-x-e^z{)}^2}=\frac{2zx+2z{e}^z-2yz+z^2{e}^x}{(y-x-e^z{)}^3}$$

六、多元函数微分学在几何学上的应用

考纲摘要：了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程

1. 一元向量值函数及其导数

1. 一元向量值函数的定义

空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$$

以上方程也可以记作向量形式：$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$

如果将 $\mathbf{f}(t)=\varphi (t)\mathbf{i}+\psi (t)\mathbf{j}+\omega (i)\mathbf{k}$

那么，这个样子的 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 就可以称作一元向量值函数

2. 向量值函数的极限

设向量值函数 $\mathbf{f}(t)$ 在点 $t_0$ 处的某一去心邻域内有定义，

$$\mathrm{\exists }{\mathbf{r}}_0,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,0<|t-t_0|<\delta \to |\mathbf{f}(t)-{\mathbf{r}}_0|<\epsilon$$

那么，常向量 ${\mathbf{r}}_0$ 就叫做向量值函数 $\mathbf{f}(t)$ 在 $t\to t_0$ 时的极限，记作：

$$\underset{t\to t_0}{lim}\mathbf{f}(t)={\mathbf{r}}_0$$

显然，向量值函数的极限存在的充要条件是三个分量函数的极限存在

此外，若 $\underset{t\to t_0}{lim}\mathbf{f}(t)=\mathbf{f}(t_0)$，则称 $\mathbf{f}(t)$ 在 $t_0$ 连续

3. 向量值函数的导数

设向量值函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 在点 $t_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\mathbf{r}}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{f}(t_0+\mathrm{\Delta }t)-\mathbf{f}(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}$$

存在，就称这个极限向量为函数值函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 在 $t_0$ 处的导数或导向量，记 作 ${\mathbf{f}}^{\prime }(t_0)$ 或者 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}$

4. 向量值函数求导法则

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{C}=\mathbf{0}\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[c\mathbf{u}(t)]=c{\mathbf{u}}^{\prime }(t)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mathbf{u}(t)\pm \mathbf{v}(t)]={\mathbf{u}}^{\prime }(t)\pm {\mathbf{v}}^{\prime }(t)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\varphi (t)\mathbf{u}(t)]={\varphi }^{\prime }(t)\mathbf{u}(t)+\varphi (t){\mathbf{u}}^{\prime }(t)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mathbf{u}(t)\mathbf{v}(t)]={\mathbf{u}}^{\prime }(t)\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t){\mathbf{v}}^{\prime }(t)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mathbf{u}(t)\times \mathbf{v}(t)]={\mathbf{u}}^{\prime }(t)\times \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times {\mathbf{v}}^{\prime }(t)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}[\varphi (t)]={\varphi }^{\prime }(t){\mathbf{u}}^{\prime }[\varphi (t)]\end{array}$$

2. 空间曲线的切线与法平面

1. 参数方程的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t),\\ y=\psi (t),\\ z=\omega (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$$

记点 $M$ 对应的参数为 $t_0$，则曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 在 $M$ 处的切线方程为：

$$\frac{x-x_0}{{\varphi }^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{{\psi }^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{{\omega }^{\prime }(t_0)}$$

法平面方程为：

$${\varphi }^{\prime }(t_0)(x-x_0)+{\psi }^{\prime }(t_0)(y-y_0)+{\omega }^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$$

2. 普通方程组的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的方程为：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

可以从中确定两个函数：$y=\varphi (x),z=\psi (x)$

那么，要求 $\mathrm{\Gamma }$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切线方程与法平面方程，只需求出 ${\varphi }^{\prime }(x_0),{\psi }^{\prime }(x_0)$

则其切线方程就是：

$$\frac{x-x_0}{x_0}=\frac{y-y_0}{{\varphi }^{\prime }(x_0)}=\frac{z-z_0}{{\psi }^{\prime }(x_0)}$$

其法平面方程就是：

$$(x-x_0)+{\varphi }^{\prime }(x_0)(y-y_0)+{\psi }^{\prime }(x_0)(z-z_0)=0$$

3. 曲面的切平面与法线

1. 隐函数 $F(x,y,z)=0$ 确定的曲面

在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面的方程为：

$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

法线方程为：

$$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$

曲面的法向量：

$$\mathbf{n}=\mathrm{\nabla }F=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$$

2. 函数 $z=f(x,y)$ 确定的曲面

实际上，这可以转换成隐函数的形式：$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$

在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面的方程为：

$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

法线方程为：

$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$

七、方向导数与梯度

考纲摘要：理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法

1. 方向导数

1. 方向导数的定义

设 $l$ 是 xOy 平面上以 $P_0(x_0,y_0)$ 为始点的一条射线，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 是与 $l$ 同方向的单位向量，则射线 $l$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\cos \beta \end{array},(t\ge 0)$$

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域 $U(P_0)$ 内有定义，$P(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )$ 是 $l$ 上的另一点，且 $P\in U(P_0)$ 如果函数增量 $f(x_0+t\cos \alpha ,t_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)$ 与 $|P{P}_0|=t$ 的比值

$$\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,t_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$

在 $t\to 0^{+}$ 时的极限存在，那么称这个极限为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作：

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,t_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$

2. 方向导数的计算

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可微分，那么函数在该点的任意方向 $l$ 的方向导数存在，且为：

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

其中，$\cos \alpha ,\cos \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦

2. 梯度

1. 梯度的定义

设函数 $f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P_0(x_0,y_0)\in D$ ，都可以定义出一个变量：

$$f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}$$

这个向量就称为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的梯度，记作 $\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$ 或者 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ 其中，

$$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}$$

称作二维向量微分算子或者 Nabla 算子，

$$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 是与方向 $l$ 同向的单位向量，那么

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta =\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\cdot {\mathbf{e}}_l=|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|\cos \theta \\ \theta =(\mathrm{\nabla }f(x_0,\widehat{y_0),{\mathbf{e}}_l}) \end{gathered}$$

2. 梯度的意义

1. 当 $\theta =0$ ，${\mathbf{e}}_l$ 与梯度 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ 的方向相同时，函数 f (x,y) 增加的速度最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ 的模。也就是说，函数 $f(x,y)$ 在一点的梯度 $\mathrm{\nabla }f$ 是一个向量，这个向量是方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。此时，有：

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|$$

2. 当 $\theta =\pi$ ，${\mathbf{e}}_l$ 与梯度 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ 的方向相反时，函数 f (x,y) 增加的速度最慢，函数在这个方向的方向导数达到最小值，此时，有：

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=-|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|$$

3. 当 $\theta =\pi /2$ ，${\mathbf{e}}_l$ 与梯度 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ 的方向正交时，函数的变化率为 0，即：

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|\cos \frac{\pi }{2}=0$$

八、多元函数的极值及其求法

考纲摘要：理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题

1. 多元函数的极值

1. 多元函数极值的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的内点，若

$$\mathrm{\exists }\mathring{U}(x_0,y_0)\subset D,\mathrm{\forall }(x,y)\in \mathring{U}(x_0,y_0),f(x,y)<f(x_0,y_0)$$

则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有极大值 $f(x_0,y_0)$，该点也称作函数的极大值点

若

$$\mathrm{\exists }\mathring{U}(x_0,y_0)\subset D,\mathrm{\forall }(x,y)\in \mathring{U}(x_0,y_0),f(x,y)>f(x_0,y_0)$$

则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有极小值 $f(x_0,y_0)$，该点也称作函数的极小值点

2. 多元函数极值的存在条件

二元函数极值存在的必要条件：如果函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处具有偏导数和极值，则：$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$ （在这里，使得两个偏导数均取值为 0 的点 $(x_0,y_0)$ 就被称作驻点）

二元函数极值存在的充分条件：

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且有 $f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$，令：

$$f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$$

则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 取得极值的情况如下：

• $AC-B^2>0$ 时具有极值，当 $A<0$ 时具有极大值，$A>0$ 时具有极小值
• $AC-B^2<0$ 时没有极值
• $AC-B^2=0$ 时无法确定是否具有极值，需要通过别的方法来判定

3. 多元函数的最大值和最小值

如果 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，那么 $f(x,y)$ 在 $D$ 上必定可以取得最大值和最小值。

求多元函数在有界闭区域 $D$ 上的最大值和最小值的方法：求出 $D$ 内所有驻点的函数值，并将其与边界上的最大值和最小值进行比较。

2. 条件极值、拉格朗日乘数法

条件极值问题举例：

求表面积为 $a^2$ 而体积最大的长方体的体积。长方体的体积：$V=xyz$，但是由于问题中的条件，三个自变量还具有制约关系：$2(xy+yz+xz)=a^2$

对于这样的问题，可以利用拉格朗日乘数法来解决

要找函数 $z=f(x,y)$ 在附加条件 $\phi (x,y)=0$ 下的可能极值点，可以使用拉格朗日函数：$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$，然后求解以下方程：

$$\{\begin{array}{l}{f}_x(x,y)+\lambda {\phi }_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda {\phi }_y(x,y)=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$

从方程组中求解 $x,y,\lambda$，得到的 $(x,y)$ 就是函数 $f(x,y)$ 在附加条件 $\phi (x,y)=0$ 下的可能极值点。

拉格朗日乘数法的一般形式：

要求解 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 在条件 $g_1(x_1,\dots x_n)=0,\dots ,g_m(x_1,\dots ,x_n)=0$ 下的条件极值，首先构造拉格朗日函数：

$$L(x_1,\dots ,x_n,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)=f(x_1,\dots ,x_n)+{\lambda }_1{g}_1(x_1,\dots x_n)+\cdots +{\lambda }_m{g}_m(x_1,\dots ,x_n)=0$$

然后构造方程组：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x_1}=0\\ ⋮\\ \frac{\partial L}{\partial x_n}=0\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_1}=0\\ ⋮\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_m}=0\end{array}$$

求解这个方程组，计算出 $x_1,\dots x_n,{\lambda }_1,\dots {\lambda }_m$ 的值，这些值就是原本的多元函数在给定条件下的极值点。根据拉格朗日乘数法的一般形式，我们可以轻易推导出在二元函数、仅有一个约束条件的情况下的拉格朗日乘数法方程组的形式。

3. 例题

求 $z=2x^2-y^2+2$ 在区域 $x^2+4y^2\le 4$ 上的最大值和最小值

$$\frac{\partial z}{\partial x}=4x,\frac{\partial z}{\partial y}=-2y$$

函数在给定区域内有一驻点 $(0,0)$，$z(0,0)=2$。然后求解其边界上的最大值和最小值，也就是求解 $z(x,y)$ 在条件 $x^2+4y^2=4$ 下的条件极值。

$$x^2=4-4y^2,z=10-9y^2,y\in [0,1]$$

在这种情况下，$z(1)=1,z(0)=10$，而 $z(1)<2$，因此 $z$ 的最大值和最小值分别是 $10,1$

九、二元函数的泰勒公式

考纲摘要：了解二元函数的二阶泰勒公式

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内连续且有 $(n+1)$ 阶连续偏导数，$(x_0+h,y_0+k)$ 为此邻域内任一点，则有：

$$\begin{gathered} f(x_0+h,y_0+k)=\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{i}f(x_0,y_0)+ \\ \frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta h),(0<\theta <1) \end{gathered}$$

这个公式称作二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的 $n$ 阶泰勒公式，其中，

$$(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{i}f(x_0,y_0)=\sum _{p=0}^m{C}_m^p{h}^p{k}^{m-p}\frac{{\partial }^{m}f}{\partial x^p\partial y^{m-p}}{|}_{(x_0,y_0)}$$

其形式就是二项展开式，例如：

$$\begin{gathered} (h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{1}f(x_0,y_0)=h{f}_x(x_0,y_0)+k{f}_y(x_0,y_0) \\ (h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{2}f(x_0,y_0)=h^2{f}_{xx}(x_0,y_0)+2hk{f}_{xy}(x_0,y_0)+k^2{f}_{yy}(x_0,y_0) \end{gathered}$$

而：

$$R_n=\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta h),(0<\theta <1)$$

则被称作拉格朗日余项

0 阶泰勒公式的形式如下：

$$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+h{f}_x(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k{f}_y(x_0+\theta h,y_0+\theta k)$$

这个公式也称作二元函数的拉格朗日中值公式

在这里还有一个推论：如果函数 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x(x,y),f_y(x,y)$ 在某一区域内都恒为 0，则 f (x,y) 在该区域内是一个常数。

十、公式汇总

1. 定义类

多元函数连续的定义：如果

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 上连续

$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数的定义式：

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

全微分的原始定义：

$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$$

其中 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 就是全微分，而 $A=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}$。但是，有时候无法直接对 f (x,y) 求偏导，但这并不意味着凑不出 $\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$

全微分的常规形式：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$$

2. 隐函数求导

隐函数求导1：如果 $F(x,y)=0$ 在某一区域内可唯一确定 $y=f(x)$，则

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$$

隐函数求导2：如果 $F(x,y,z)=0$ 在某一区域内可唯一确定 $z=f(x,y)$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z}$$

隐函数求导3：如果以下方程组：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$$

可同时确定唯一的一对 $u=u(x,y),v=v(x,y)$，则：

$$\begin{gathered} J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right| \\ \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_v\\ G_x& G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_x\\ G_u& G_x\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_y& F_v\\ G_y& G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_y\\ G_u& G_y\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|} \end{gathered}$$

事实上，以上隐函数求导法则有时候用起来未必方便，而且只适合于求一阶导数，直接在题目给定的方程左右同时对某一变量求偏导即可

3. 应用类

1. 空间曲线的切线与法平面

1. 参数方程的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t),\\ y=\psi (t),\\ z=\omega (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$$

记点 $M$ 对应的参数为 $t_0$，则曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 在 $M$ 处的切线方程为：

$$\frac{x-x_0}{{\varphi }^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{{\psi }^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{{\omega }^{\prime }(t_0)}$$

法平面方程为：

$${\varphi }^{\prime }(t_0)(x-x_0)+{\psi }^{\prime }(t_0)(y-y_0)+{\omega }^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$$

2. 普通方程组的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的方程为：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

可以从中确定两个函数：$y=\varphi (x),z=\psi (x)$

那么，要求 $\mathrm{\Gamma }$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切线方程与法平面方程，只需求出 ${\varphi }^{\prime }(x_0),{\psi }^{\prime }(x_0)$

则其切线方程就是：

$$\frac{x-x_0}{x_0}=\frac{y-y_0}{{\varphi }^{\prime }(x_0)}=\frac{z-z_0}{{\psi }^{\prime }(x_0)}$$

其法平面方程就是：

$$(x-x_0)+{\varphi }^{\prime }(x_0)(y-y_0)+{\psi }^{\prime }(x_0)(z-z_0)=0$$

2. 曲面的切平面与法线

1. 隐函数 $F(x,y,z)=0$ 确定的曲面

在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面的方程为：

$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

法线方程为：

$$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$

曲面的法向量：

$$\mathbf{n}=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$$

2. 函数 $z=f(x,y)$ 确定的曲面

实际上，这可以转换成隐函数的形式：$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$

在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面的方程为：

$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

法线方程为：

$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$