06 多元函数微分学

多元函数微积分是整套高等数学的难点与重点。微分学部分的核心在于理清连续、可导（偏导数存在）、可微、偏导函数连续的递进或平行的逻辑关系。计算部分则重点考察复合函数链式求导、隐函数（组）求导、方向导数与极值问题。

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一、 概念的定义与逻辑辨析

多元函数微分学中，对于极限、连续、偏导存在的严格概念理解极其重要。

1.1 的极限与连续

• 二重极限的收敛比一元函数严苛得多：必须是当动点 $P(x,y)$ 沿任意路径以任意方式趋向于 $P_0$ 时，极限都存在且相等。

• 证明极限不存在常用法（特殊路径法）：令 $y=kx$（或者 $y=k{x}^2$ 等与分母同阶的方程），如果计算出的极限值依赖于参数 $k$（如得到 $\frac{k}{1+k^2}$），则说明该极限不存在。

• 证明极限存在常用法（同阶夹逼或极坐标代换）：将 $(x,y)$ 转化为极坐标 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，若当 $r\to 0$ 时的极限过程关于 $\theta$ 是一致的（通常提出一个关于 $\theta$ 的有界量且前面有 $r$），即可判定极限存在并求出。

1.2 偏导数存在

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

偏导数存在仅仅说明曲面在平行于坐标面的截痕曲线上是可导的（也就是在这个切面内平滑），而完全无法保证在其他方向上的状态。因此，偏导数存在不一定连续。

1.3 全微分与可微性

全微分定义为函数改变量的主部：

$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )(\text{其中 }\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$$

• 若函数在某点可微，则必须连续，且必定具有一阶偏导数，且此处的 $A=f_x,B=f_y$。

• 可微性判别法：即判断如下极限是否为0：

  $$\underset{\rho \to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z-[f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y]}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}=0$$

• 充分条件：如果 $f_x$ 和 $f_y$ 在点 $P_0$ 连续，则 $f(x,y)$ 在该点可微。

1.4 四重关系的总结链条

1. 偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 极限存在

2. 可微 $\Rightarrow$ 各个方向的偏导数均存在

3. 偏导数存在 $\nRightarrow$ 连续，连续 $\nRightarrow$ 偏导数存在。

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二、 求导法则大观

2.1 链式求导法则（画树状图）

若 $z=f(u,v)$，而 $u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

• 一阶全微分形式不变性：无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，都有 $dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$。

• 求二阶偏导易错点：在求解多元复合函数二阶偏导数（如 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$）时，极易漏乘内层偏导数。此时需要认清 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 它们自己也是关于 $u,v$ 的多变量函数。强烈建议做题时画出变量相依的树状图，严格使用内层展开操作。

2.2 隐函数求导公式

1. 一元隐函数 $F(x,y)=0$：

   $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}(F_y\ne 0)$$

2. 二元隐函数 $F(x,y,z)=0$：

   $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

3. 方程组隐函数与雅可比行列式 $\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$：

   需要求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 时，定义雅可比式 $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|\ne 0$，

   利用公式：

   $$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_v\\ G_x& G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|}$$

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三、 多元微分几何学应用

3.1 空间曲线的切线与法平面

对应的是单变量带出三个坐标的模型。

若曲线参数方程为 $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$：

• 切向量为 $\mathbf{s}=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$。

• 切线方程：$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$。

• 法平面方程：$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$。

3.2 空间曲面的切平面与法线

对应的是全隐函数约束模型 $F(x,y,z)=0$。

• 法向量为 $\mathbf{n}=(F_x,F_y,F_z)$。

• 切平面方程：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$。

• 法线方程：$\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}$。

• 若曲面显式给出 $z=f(x,y)$，则化为 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$，也就是 $\mathbf{n}=(f_x,f_y,-1)$。

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四、 方向导数与梯度

4.1 方向导数

方向导数表示函数沿某给定方向 $\mathbf{l}$ 的变化率。

如果函数 $f(x,y,z)$ 可微，设 $\mathbf{l}$ 的方向余弦为 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$，则：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial f}{\partial z}\cos \gamma$$

（一定注意必须是单位方向向量！）

4.2 梯度 (Gradient)

定义向量 $\mathbf{grad}f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$ 为函数的梯度。

• 梯度的方向是方向导数取最大值的方向（函数值增加最快的方向）。

• 梯度的大小就是方向导数的最大值：$|\mathbf{grad}f|$。

• 梯度的反方向则是方向导数取最小（减少最快）的方向。

• 实际上，$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}=\mathbf{grad}f\cdot {\mathbf{l}}^{\circ }$。

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五、 多元函数的极值与最值

5.1 无条件极值

找驻点：解方程组 $f_x=0,f_y=0$。

使用二阶导数判定矩阵法则（海森矩阵）：令在驻点处为 $A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$，$\mathrm{\Delta }=AC-B^2$：

1. $AC-B^2>0$：有极值。

   • 若 $A<0$（或 $C<0$），该点为极大值。

   • 若 $A>0$（或 $C>0$），该点为极小值。

2. $AC-B^2<0$：无极值。该点为鞍点。

3. $AC-B^2=0$：无法判定。此时必须使用定义法放缩验证。

   • （技巧：考察在这个点的邻域内，如果能找到两条过该点的特殊路径曲线（比如令 $x=0$, 以及令 $x=y$），使得函数增量 $\mathrm{\Delta }z=f(x,y)-f(0,0)$ 在一条路径上恒正，在另一条上恒负，即可证明该点不是极值点！）

5.2 条件极值（拉格朗日乘数法）

求目标函数 $f(x,y,z)$ 在约束条件 $\phi (x,y,z)=0$ 下的极值。

• 构造拉格朗日函数：$L(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$。

• 列方程组：

  $$\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x+\lambda {\phi }_x=0\\ L_y=f_y+\lambda {\phi }_y=0\\ L_z=f_z+\lambda {\phi }_z=0\\ \phi (x,y,z)=0\end{array}$$

• 求解上述方程组找疑似极值点，再结合实际问题进行最大最小值比较判定。

提示：在遇到求空间体到某平面的最短/最远距离问题，或几何包络几何求体积最大时，极容易用拉格朗日乘数法，非常霸道好算。