01 预备知识与基础公式

本章整理了在高等数学学习与考研解题中，常用到的中学（或前期）数学基础公式、三角函数恒等变换、基本不等式、以及部分基础但经常被遗忘的函数特性。熟练掌握这些预备知识有利于后续所有章节的计算。

一、三角函数公式及性质

1.1 基本倒数与平方关系

倒数关系：
$\sec x = \frac{1}{\cos x}, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \cot x = \frac{1}{\tan x}$
平方关系：
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ $1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x$ $1 + \cot^{2} x = \csc^{2} x$
奇偶性： $\sec x$ 是偶函数， $\csc x$ 是奇函数， $\tan x, \cot x, \sin x$ 均为奇函数， $\cos x$ 为偶函数。

1.2 和差角公式

\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β

\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β

\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \mp \tan α \tan β}

1.3 倍角与半角（降幂）公式

二倍角公式：
$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$ $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$ $\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$
降幂（半角）公式（积分中极其常用）：
$\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}$ $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2 x$

1.4 和差化积与积化和差

积化和差：
$\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$ $\cos α \sin β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)]$ $\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]$ $\sin α \sin β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]$
和差化积：
$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ $\sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$ $\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ $\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$

1.5 万能公式与三角辅助角公式

万能公式（常用于复杂的三角有理式反常积分替换）：
若令 $u = \tan \frac{x}{2} (x \in (- π, π))$ ，则有：
$\sin x = \frac{2 u}{1 + u^{2}}, \cos x = \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}, d x = \frac{2}{1 + u^{2}} d u$
三角辅助角公式（提取极值的核心）：
$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$
其中 $\tan φ = \frac{b}{a}$ 。

1.6 反三角函数性质

互余关系：
$\arcsin x + \arccos x = \frac{π}{2} (| x | \leq 1)$ $\arctan x + arccot x = \frac{π}{2} (x \in R)$
奇偶性： $\arcsin x$ 与 $\arctan x$ 为奇函数， $\arccos (- x) = π - \arccos x$ 。

1.7 必备基础求导与原函数大表

熟练记忆此表，是后续一切微分与积分计算的根基。

| 函数 $f (x)$ | 导数 $f^{'} (x)$ | 原函数 $\int f (x) d x$ （忽略 $+ C$ ） |

| :--- | :--- | :--- |

| $x^{μ}$ | $μ x^{μ - 1}$ | $\frac{1}{μ + 1} x^{μ + 1} (μ \neq - 1)$ |

| $\frac{1}{x}$ | $- \frac{1}{x^{2}}$ | $\ln | x |$ |

| $a^{x}$ | $a^{x} \ln a$ | $\frac{a^{x}}{\ln a}$ |

| $\log_{a} x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ | $x \log_{a} x - \frac{x}{\ln a}$ |

| $\sin x$ | $\cos x$ | $- \cos x$ |

| $\cos x$ | $- \sin x$ | $\sin x$ |

| $\tan x$ | $\sec^{2} x$ | $- \ln | \cos x |$ |

| $\cot x$ | $- \csc^{2} x$ | $\ln | \sin x |$ |

| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ | $x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}}$ |

| $\arccos x$ | $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ | $x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}}$ |

| $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^{2}}$ | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})$ |

| $arccot x$ | $- \frac{1}{1 + x^{2}}$ | $x arccot x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})$ |

【考研进阶武器】六大常考含参积分公式（ $a > 0$ ）：

反正弦型： $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin \frac{x}{a} + C$
反正切型： $\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ （极容易漏掉前面的 $\frac{1}{a}$ ！）
对数减型： $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C$
对数加型： $\int \frac{1}{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{a + x}{a - x} | + C$
反双曲正弦型： $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C$
反双曲余弦型： $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C$

二、常用代数公式与排列组合

2.1 因式分解公式

平方差： $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
立方和 / 立方差： $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})$
完全平方系列： $(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$
极常用的根式共轭（有理化代换）：通过分子分母同乘共轭式实现拆分放缩。
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
$n$ 次方差（多用于等价替换或极限因式分解，或者错位相消）：
$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$
二项式定理：
$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} = a^{n} + n a^{n - 1} b + \frac{n (n - 1)}{2!} a^{n - 2} b^{2} + \dots + b^{n}$

2.2 一元二次方程与韦达定理

一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，其判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。

求根公式： $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ （若 $Δ < 0$ 则为复根 $\frac{- b \pm \sqrt{- Δ} i}{2 a}$ ）。
韦达定理：
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

2.3 排列组合、阶乘与双阶乘

P_{m}^{n} = A_{m}^{n} = m (m - 1) \dots (m - n + 1)

C_{m}^{n} = \frac{A_{m}^{n}}{A_{n}^{n}} = \frac{m!}{n! (m - n)!} = \frac{m (m - 1) \dots (m - n + 1)}{n (n - 1) \dots 1}

(注：分母和分子均含有 $n$ 项相乘。)

阶乘与双阶乘：

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$ （规定 $0! = 1$ ）。
双阶乘：
$(2 n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2 n) = 2^{n} \cdot n!$ $(2 n - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)$

2.4 根式、绝对值与取整函数、整数幂和公式

平方开根号与绝对值互换：$$ \sqrt{u^2} = |u| $$
（在积分或求极限去根号时极易漏掉绝对值导致符号错误！）
取整函数 $[x]$ 定义与性质： $x - 1 < [x] \leq x$ 。此不等式在求含取整函数极限时常用于夹逼准则。
整数幂和公式（常用于定积分定义求极限）：
$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ $\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}$

三、重要不等式与函数大小比较

3.1 均值不等式（AM-GM 不等式）

对于任意非负实数 $a, b$ ：

\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} ⟺ 2 a b \leq a^{2} + b^{2}

推广至 $n$ 项：

H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n} \leq Q_{n}

调和平均数 $\leq$ 几何平均数 $\leq$ 算术平均数 $\leq$ 平方平均数。

3.2 常见初等函数大小比较与放缩法

在证明题和极限放缩中，以下不等关系被称为“变形技巧核心武器”：

对数与指数放缩：
$\ln (1 + x) < x < e^{x} - 1 (x > 0)$ $e^{x} \geq x + 1, e^{x} \geq e x (x > 0)$ $1 - \frac{1}{x} \leq \ln x \leq x - 1 (x > 0)$ $\frac{x}{x + 1} \leq \ln (1 + \frac{1}{x}) \leq \frac{1}{x} (x > 0) ⟹ {(1 + \frac{1}{x})}^{x} < e$
函数 $y = \frac{e^{x}}{x}$ 在 $x > 0$ 时， $x = 1$ 处取得极小值 $e$ 。
三角函数放缩法则：
$\sin x < x < \tan x (0 < x < \frac{π}{2})$ $\frac{2}{π} < \frac{\sin x}{x} < 1 (0 < x < \frac{π}{2})$ $1 < \frac{\tan x}{x} < \frac{4}{π} (0 < x < \frac{π}{4})$
阶乘与对数（数列放缩常用）：
$n! < n^{n} (n > 1) ⟹ \ln (n!) < n \ln n$

3.3 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 与积分基础不等式

柯西不等式离散形式： ${(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2})$
柯西不等式积分形式： ${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq (\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x) (\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x)$
积分绝对值不等式：
$| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x (a < b)$

3.4 函数性态中的高级不等关系 (单调性构造)

单调递增的抽象性质判定：若 $f (x)$ 单调递增，则必然有恒等关系： $(x - x_{0}) [f (x) - f (x_{0})] \geq 0$ 。这在拉格朗日中值定理与积分放缩中常用来剥离正负号。
积分和与面积的经典放缩（黎曼级数求和压缩）：若 $f (x)$ 单调递减，则可通过梯形面积法得到离散级数与积分的压迫关系：
$\sum_{k = 1}^{n - 1} f (k + 1) \leq \int_{1}^{n} f (x) d x \leq \sum_{k = 1}^{n - 1} f (k)$

四、核心重难点兵器库 (麦克劳林、n阶导、极特殊函数)

4.1 必备麦克劳林 (Maclaurin) 展开式长表

此表是解决极限 $0 / 0$ 降阶、级数收敛判定、无穷小替换的核武器。必须要背到皮亚诺余项！

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})$
$\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})$
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + o (x^{2 n})$ （注意余项永远跟高一阶的最紧随偶数匹配）
$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + o (x^{2 n + 1})$
$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})$

易算错与难推导的高阶三兄弟：

$\tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + o (x^{5})$
$\arcsin x = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + o (x^{5})$
$\arctan x = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + o (x^{5})$ （交替符号！）

4.2 常用函数的 $n$ 阶导数公式表

考研计算中频繁遇到求高阶导数，这五大金刚公式必须烂熟于心：

$(e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{a x}$
$(\sin (a x + b))^{(n)} = a^{n} \sin (a x + b + \frac{n π}{2})$
$(\cos (a x + b))^{(n)} = a^{n} \cos (a x + b + \frac{n π}{2})$
$(\ln x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{x^{n}}$
${(\frac{1}{a x + b})}^{(n)} = (- 1)^{n} \frac{n! \cdot a^{n}}{(a x + b)^{n + 1}}$

4.3 双曲函数与反双曲特性（命题频发定论）

由于在微分方程与微积分积分法中占有重要地位，它们常常被单独拿出来作为大题构造的对象。

双曲正弦函数 $y = \sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ （奇函数）
双曲余弦函数 $y = \cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （偶函数，经典悬链线模型）
基本关系恒等式： $\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$
双曲求导规则： $(\sinh x)^{'} = \cosh x$ ，且 $(\cosh x)^{'} = \sinh x$ （特别注：这两者相互导皆为正号！）
反双曲正弦函数的经典形态 $y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ ：
- 该函数为 奇函数 （ $f (- x) = - f (x)$ 证明过程：将内部有理化即可）。
- 导数为： $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。
- 函数在 $x \to 0$ 时的等价无穷小： $\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sim x$ 。

4.4 极限常数 $e$ 的相关基础

自然对数底 $e$ 定义极限：
$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$
$n$ 次方根极限：
$lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

五、常用的平面与空间图形公式

5.1 椭圆面积与周长

椭圆标准方程： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$

面积： $S = π a b$
极坐标表示下的椭圆或圆常用形体需牢记其积分结果（作为二级结论加速解题）。

5.2 圆柱、圆锥、球体

球体：
体积 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ；表面积 $S = 4 π R^{2}$ 。
圆柱：
体积 $V = π r^{2} h$ ；侧面积 $S_{侧} = 2 π r h$ 。
圆锥：
体积 $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ ；侧面积（ $l$ 为母线） $S_{侧} = π r l$ 。

提示：上述几何图形公式在定积分的物理应用、重心计算、转动惯量以及三重积分的定界中为最底层知识，需绝对准确。

01 预备知识与基础公式 ​

一、 三角函数公式及性质 ​

1.1 基本倒数与平方关系 ​

1.2 和差角公式 ​

1.3 倍角与半角（降幂）公式 ​

1.4 和差化积与积化和差 ​

1.5 万能公式与三角辅助角公式 ​

1.6 反三角函数性质 ​

1.7 必备基础求导与原函数大表 ​

二、 常用代数公式与排列组合 ​

2.1 因式分解公式 ​

2.2 一元二次方程与韦达定理 ​

2.3 排列组合、阶乘与双阶乘 ​

2.4 根式、绝对值与取整函数、整数幂和公式 ​

三、 重要不等式与函数大小比较 ​

3.1 均值不等式（AM-GM 不等式） ​

3.2 常见初等函数大小比较与放缩法 ​

3.3 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 与 积分基础不等式 ​

3.4 函数性态中的高级不等关系 (单调性构造) ​

四、 核心重难点兵器库 (麦克劳林、n阶导、极特殊函数) ​

4.1 必备麦克劳林 (Maclaurin) 展开式长表 ​

4.2 常用函数的 n 阶导数公式表 ​

4.3 双曲函数与反双曲特性（命题频发定论） ​

4.4 极限常数 e 的相关基础 ​

五、 常用的平面与空间图形公式 ​

5.1 椭圆面积与周长 ​

5.2 圆柱、圆锥、球体 ​