高等数学·0 预备知识与基础公式

本章整理了在高等数学学习与考研解题中，常用到的中学（或前期）数学基础公式、三角函数恒等变换、基本不等式、以及部分基础但经常被遗忘的函数特性。熟练掌握这些预备知识有利于后续所有章节的计算。

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一、三角函数公式及性质

1. 基本倒数与平方关系

• 倒数关系：

$$\sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x},\cot x=\frac{1}{\tan x}$$

• 平方关系：

$$\begin{gathered} {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1 \\ 1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x \\ 1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x \end{gathered}$$

• 奇偶性：$\sec x$ 是偶函数，$\csc x$ 是奇函数，$\tan x,\cot x,\sin x$ 均为奇函数，$\cos x$ 为偶函数。

2. 和差角公式

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

3. 倍角与半角（降幂）公式

• 二倍角公式：

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha \\ \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha } \end{gathered}$$

• 降幂（半角）公式（积分中极其常用）：

$$\begin{gathered} {\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \\ {\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2} \\ \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x \end{gathered}$$

4. 和差化积与积化和差

• 积化和差：

$$\begin{gathered} \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )] \\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )] \\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )] \\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )] \end{gathered}$$

• 和差化积：

$$\begin{gathered} \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} \\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2} \\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} \\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2} \end{gathered}$$

5. 万能公式与三角辅助角公式

• 万能公式（常用于复杂的三角有理式反常积分替换）：

  若令 $u=\tan \frac{x}{2}(x\in (-\pi ,\pi ))$，则有：

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},dx=\frac{2}{1+u^2}du$$

• 三角辅助角公式（提取极值的核心）：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$$

其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。

6. 反三角函数性质

• 互余关系：

$$\begin{gathered} \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}(|x|\le 1) \\ \arctan x+\text{arccot}x=\frac{\pi }{2}(x\in \mathbb{R}) \end{gathered}$$

• 奇偶性：$\arcsin x$ 与 $\arctan x$ 为奇函数，$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$。

7. 必备基础求导与原函数大表

熟练记忆此表，是后续一切微分与积分计算的根基。

函数 $f(x)$	导数 $f^{\prime }(x)$	原函数 $\int f(x)dx$ （忽略 $+C$）
$x^{\mu }$	$\mu x^{\mu -1}$	$\frac{1}{\mu +1}{x}^{\mu +1}(\mu \ne -1)$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\ln |x|$
$a^x$	$a^x\ln a$	$\frac{a^x}{\ln a}$
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	$-\ln |\cos x|$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$	$\ln |\sin x|$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\ln |\sec x+\tan x|$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\ln |\csc x-\cot x|$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$x\arccos x-\sqrt{1-x^2}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$
$\text{arccot}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$x\text{arccot}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$

【考研进阶武器】六大常考含参积分公式（$a>0$）：

1. 反正弦型：$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$

2. 反正切型：$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$（极容易漏掉前面的 $\frac{1}{a}$！）

3. 对数减型：$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

4. 对数加型：$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$

5. 反双曲正弦型：$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

6. 反双曲余弦型：$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

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二、常用代数公式与排列组合

1. 因式分解公式

• 平方差：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

• 立方和 / 立方差：$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

• 完全平方系列：$(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$

• 极常用的根式共轭（有理化代换）：通过分子分母同乘共轭式实现拆分放缩。

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

• $n$ 次方差（多用于等价替换或极限因式分解，或者错位相消）：

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$$

• 二项式定理：

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=a^n+n{a}^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +b^n$$

2. 一元二次方程与韦达定理

一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$，其判别式 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$。

• 求根公式：$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ （若 $\mathrm{\Delta }<0$ 则为复根 $\frac{-b\pm \sqrt{-\mathrm{\Delta }}i}{2a}$）。

• 韦达定理：

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

3. 排列组合、阶乘与双阶乘

$$\begin{gathered} P_m^n=A_m^n=m(m-1)\cdots (m-n+1) \\ {C}_m^n=\frac{A_m^n}{A_n^n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}=\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n(n-1)\cdots 1} \end{gathered}$$

(注：分母和分子均含有 $n$ 项相乘。)

阶乘与双阶乘：

• $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ （规定 $0!=1$）。

• 双阶乘：

$$\begin{gathered} (2n)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)=2^n\cdot n! \\ (2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1) \end{gathered}$$

4. 根式、绝对值与取整函数、整数幂和公式

• 平方开根号与绝对值互换：

$$\sqrt{u^2}=|u|$$

（在积分或求极限去根号时极易漏掉绝对值导致符号错误！）

• 取整函数 $[x]$ 定义与性质：$x-1<[x]\le x$。此不等式在求含取整函数极限时常用于夹逼准则。

• 整数幂和公式（常用于定积分定义求极限）：

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum _{i=1}^n{i}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2 \end{gathered}$$

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三、重要不等式与函数大小比较

1. 均值不等式（AM-GM 不等式）

对于任意非负实数 $a,b$：

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}⟺2ab\le a^2+b^2$$

推广至 $n$ 项：

$$H_n\le G_n\le A_n\le Q_n$$

调和平均数 $\le$ 几何平均数 $\le$ 算术平均数 $\le$ 平方平均数。

2. 常见初等函数大小比较与放缩法

在证明题和极限放缩中，以下不等关系被称为“变形技巧核心武器”：

• 对数与指数放缩：

$$\begin{gathered} \ln (1+x)<x<e^x-1(x>0) \\ {e}^x\ge x+1,e^x\ge ex(x>0) \\ 1-\frac{1}{x}\le \ln x\le x-1(x>0) \\ \frac{x}{x+1}\le \ln (1+\frac{1}{x})\le \frac{1}{x}(x>0)⟹{(1+\frac{1}{x})}^x<e \end{gathered}$$

• 函数 $y=\frac{e^x}{x}$ 在 $x>0$ 时，$x=1$ 处取得极小值 $e$。

• 三角函数放缩法则：

$$\begin{gathered} \sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2}) \\ \frac{2}{\pi }<\frac{\sin x}{x}<1(0<x<\frac{\pi }{2}) \\ 1<\frac{\tan x}{x}<\frac{4}{\pi }(0<x<\frac{\pi }{4}) \end{gathered}$$

• 阶乘与对数（数列放缩常用）：

$$n!<n^n(n>1)⟹\ln (n!)<n\ln n$$

3. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 与 积分基础不等式

• 柯西不等式离散形式：${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)$

• 柯西不等式积分形式：${({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx)}^2\le ({\int }_a^b{f}^2(x)dx)({\int }_a^b{g}^2(x)dx)$

• 积分绝对值不等式：

$$|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx(a<b)$$

4. 函数性态中的高级不等关系 (单调性构造)

• 单调递增的抽象性质判定：若 $f(x)$ 单调递增，则必然有恒等关系：$(x-x_0)[f(x)-f(x_0)]\ge 0$。这在拉格朗日中值定理与积分放缩中常用来剥离正负号。

• 积分和与面积的经典放缩（黎曼级数求和压缩）：若 $f(x)$ 单调递减，则可通过梯形面积法得到离散级数与积分的压迫关系：

$$\sum _{k=1}^{n-1}f(k+1)\le {\int }_1^{n}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{n-1}f(k)$$

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四、核心重难点兵器库 (麦克劳林、n阶导、极特殊函数)

1. 必备麦克劳林 (Maclaurin) 展开式长表

此表是解决极限 $0/0$ 降阶、级数收敛判定、无穷小替换的核武器。必须要背到皮亚诺余项！

1. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

2. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

3. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$ （注意余项永远跟高一阶的最紧随偶数匹配）

4. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

5. $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

易算错与难推导的高阶三兄弟：

6. $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+o(x^5)$

7. $\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+o(x^5)$

8. $\arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+o(x^5)$（交替符号！）

2. 常用函数的 $n$ 阶导数公式表

考研计算中频繁遇到求高阶导数，这五大金刚公式必须烂熟于心：

1. $(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}$

2. $(\sin (ax+b){)}^{(n)}=a^n\sin (ax+b+\frac{n\pi }{2})$

3. $(\cos (ax+b){)}^{(n)}=a^n\cos (ax+b+\frac{n\pi }{2})$

4. $(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

5. ${\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!\cdot a^n}{(ax+b{)}^{n+1}}$

3. 双曲函数与反双曲特性（命题频发定论）

由于在微分方程与微积分积分法中占有重要地位，它们常常被单独拿出来作为大题构造的对象。

• 双曲正弦函数 $y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ （奇函数）

• 双曲余弦函数 $y=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ （偶函数，经典悬链线模型）

• 基本关系恒等式：${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

• 双曲求导规则：$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x$，且 $(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$ （特别注：这两者相互导皆为正号！）

• 反双曲正弦函数的经典形态 $y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$：

  • 该函数为 奇函数 （$f(-x)=-f(x)$ 证明过程：将内部有理化即可）。

  • 导数为： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。

  • 函数在 $x\to 0$ 时的等价无穷小：$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$。

4. 极限常数 $e$ 的相关基础

• 自然对数底 $e$ 定义极限：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e$$

• $n$ 次方根极限：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$$

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五、常用的平面与空间图形公式

1. 椭圆面积与周长

椭圆标准方程： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$

• 面积： $S=\pi ab$

• 极坐标表示下的椭圆或圆常用形体需牢记其积分结果（作为二级结论加速解题）。

2. 圆柱、圆锥、球体

• 球体：

  体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$；表面积 $S=4\pi R^2$。

• 圆柱：

  体积 $V=\pi r^{2}h$；侧面积 $S_{\mathrm{侧}}=2\pi rh$。

• 圆锥：

  体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$；侧面积（$l$ 为母线） $S_{\mathrm{侧}}=\pi rl$。

提示：上述几何图形公式在定积分的物理应用、重心计算、转动惯量以及三重积分的定界中为最底层知识，需绝对准确。