07 多元函数积分学：重积分与曲线曲面积分

多元函数积分学是考研数学一中分值极大的一块（通常包含两道甚至三道解答大题）。理清第一类/第二类各种积分物理意义，并迅速判断三大定理（格林、高斯、斯托克斯）的使用条件是得分的关键。

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一、 重积分计算 (二重与三重)

1.1 对称性与奇偶性（重积分计算的第一步）

面对复杂的重积分，第一时间检查积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。

• 普通对称性：若积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称：

  • 如果 $f(-x,y)=-f(x,y)$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0$。

  • 如果 $f(-x,y)=f(x,y)$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma$ ($D_1$ 为 $x\ge 0$ 的一半)。

• 轮换对称性：若积分区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$。

1.2 二重积分坐标系选取

1. 直角坐标系：X 型区域先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分；Y 型区域反之。

2. 极坐标系：区域如果为圆或圆环，被积函数中含有 $x^2+y^2$。替换 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。

   易错点：面积微元 $dxdy$ 变为 $rdrd\theta$，绝不能漏掉 $r$。当积分转为 $\theta$ 与 $r$ 后，若出现 $\sin /\cos$ 的高次幂积分，务必联想使用 Wallis (华里士) 公式。

3. 一般变量代换与极点平移：若积分区域为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2$，可做平移极坐标变换 $x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$，此时面积微元依然是 $rdrd\theta$。

   • 若做一般换元 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$，面积微元变为 $dxdy=|J|dudv$，其中雅可比行列式 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$。

1.3 三重积分的三大坐标系

1. 直角坐标系 (先一后二 / 先二后一)：

   • 先一后二（投影穿线法）：${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\iint }_{D_{xy}}({\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz)dxdy$

   • 先二后一（定限截面法）：${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\int }_a^b({\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy)dz$

2. 柱面坐标系 $(r,\theta ,z)$：

   • 替换 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$。体积微元 $dV=rdrd\theta dz$。

   • 适用于区域以圆柱面、旋转抛物面封闭，且被积函数中含有 $x^2+y^2$。

3. 球面坐标系 $(r,\phi ,\theta )$：

   • 替换 $x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi$。

   • 体积微元 $dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$。

   • 适用于穿过原点的球体或锥面。注意 $\phi$ 的取值范围 $[0,\pi ]$ 是天顶角（$z$ 轴正向往下的夹角）。

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二、 场与积分要素的定义

我们需要建立标量场与向量场的宏观认知：

• 第一类曲线/曲面积分：是对标量场（如密度 $\rho$）的积分，结果代表物理量（质量）。微元为弧长微元 $ds$ 或面积微元 $dS$。

• 第二类曲线/曲面积分：是对向量场（如力场 $\mathbf{F}$, 速度场 $\mathbf{v}$）的积分，结果代表物理量（功、流量/通量）。微元必须具有方向性，如 $d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$ 和 $d\mathbf{S}=\mathbf{n}dS$。

散度与旋度

设向量场 $\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$：

1. 梯度 (Gradient): 作用于标量场，结果是向量。 $\mathbf{grad}u=(u_x,u_y,u_z)$。

2. 散度 (Divergence): 作用于向量场，结果是标量。 $\text{div}\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$。散度为正表示源发散。

3. 旋度 (Curl): 作用于向量场，结果是向量。

   $$\text{rot}\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

   旋度为零表明该场为保守场（或称无旋场）。

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三、 第一类曲线/曲面积分 (标量积分)

3.1 第一类曲线积分

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds$$

计算步骤：一投、二代、三求微元长度（一律化为定积分）。

若 $L:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$，则 $ds=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}dt$。

3.2 第一类曲面积分

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)dS$$

计算步骤：一投、二代、三求微元面积（一律化为二重积分）。

若 $\mathrm{\Sigma }:z=z(x,y)$ 投影在 $xOy$ 面上为 $D_{xy}$：

$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$。

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四、 第二类曲线/曲面积分 (向量积分) 与三大公式

对向量积分有强烈的符号（方向）要求！方向反转，积分反号。

4.1 格林公式 (平面闭合曲线积分)

连接了区域边界上的线积分与区域内部的二重积分。闭曲线 $L$ 规定沿正向（逆时针，区域始终在左侧）。

$${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

• 拓展结论：平面曲线积分与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$（即二维旋度为0）。

• 若路径不闭合但满足无关条件，可自选折线（沿坐标轴）积分，或求得其全微分原函数后直接带入终点减去起点。

4.2 斯托克斯公式 (三维空间闭合曲线)

空间闭合曲线积分转化为以该曲线为边界的曲面积分判断：

$${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}(\text{rot}\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

或者写为 ${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$。

右手定则决定了曲面的侧向与曲线环绕方向！

4.3 第二类曲面积分的计算（合三为一法）

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

若曲面为 $z=z(x,y)$，取上侧（否则差一负号），那么法向为 $(-z_x,-z_y,1)$。

第二类曲面积分可以直接化为对投影面 $D_{xy}$ 的二重积分：

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{D_{xy}}[-P{z}_x-Q{z}_y+R]dxdy$$

(将被积函数中涉及的 $z$ 全部替换为 $z(x,y)$)

4.4 高斯公式 (封闭曲面通量与体积分)

考研曲面积分解法的绝对大杀器。当曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 为取外侧的封闭曲面，且包围的几何体为 $\mathrm{\Omega }$ 时：

$${\text{oiint}}_{\mathrm{\Sigma }}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$$

高阶应用提醒：

1. 用高斯公式遇到开放曲面时，使用“补面法”。补上底面或顶面（注意侧向选择）构成封闭体使用公式，随后再减去在补面上的那一部分定积分！

2. 原点奇点（如出现 $1/r^3$ 或分母为 $x^2+y^2+z^2$ 的引力场/通量连续性问题）：不能在包绕奇点处直接用高斯公式（因为散度不连续）。需要在内部围绕奇点挖掉一个小球，建立内外两个封闭面的环绕区域进行公式推断！

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五、 物理与几何应用（质心、形心与转动惯量）

1. 形心 (几何中心)：设密度为常数 $\rho =1$。

   二维平面形心：$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}xdxdy}{{\iint }_{D}dxdy}$。

   三维空间形心：$\overline{z}=\frac{{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}zdV}{{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV}$。

2. 转动惯量：如物体对 $z$ 轴的转动惯量：

   $I_z={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(x^2+y^2)\rho (x,y,z)dV$。

3. 引力法则需建立微积分元 $d\mathbf{F}=Gm\cdot \frac{\rho dV}{r^2}{\mathbf{r}}^0$。