08 无穷级数

无穷级数在考研中主要分为定性判断（敛散性判定）与定量计算（求和函数、展开为幂级数、傅里叶级数）。它是函数向无穷维多项式延展的基础。

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一、 常数项级数的敛散性判别

判断敛散性，我们有一整套层层递进的工具（判别法）。

1.1 基本性质、双重视角与必要条件

• 双重视角：在做定性分析时，一是通项视角（通过判别法直接考察 $lim{a}_n$ 或相邻项比例）；二是有限和视角（考察前 $n$ 项和 $S_n$ 的极限，用于处理两级数加减法或构造放缩）。

• 性质定理：若 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 均收敛，则 $\sum (a_n\pm b_n)$ 收敛。但“发散+发散”结果不确定。“收敛+发散”必发散。

• 必要条件：如果数列 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛，那么其通项极限必须为 0，即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$。

• 反推（重要试金石）：如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0$，那么级数必定发散！

• 注意事项：若 $lim{a}_n=0$，不能说明级数收敛（典型的反例是调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，而交错调和级数收敛）。

1.2 正项级数判别法

对于 $a_n>0$ 的正项级数，主要使用以下武器：

1. 比较判别法（极限形式，最常用）：计算 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=l$。

   • 若 $0<l<+\mathrm{\infty }$，则两者同敛散。

   • 参考参照物1是 $p$ 级数 $\sum \frac{1}{n^p}$：当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。

   • 参考参照物2是 等比级数 (几何级数) $\sum q^n$：当 $|q|<1$ 时收敛且和为 $\frac{1}{1-q}$，当 $|q|\ge 1$ 时发散。

   • 对 $a_n$ 寻找等价无穷小即可轻松找到参照物（如 $\sin (1/n)\sim 1/n$ 从而发散）。

2. 比值判别法 (D'Alembert)：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$。

   • $\rho <1$ 收敛，$\rho >1$ 发散。如果 $\rho =1$ 则该法失效（需换其他方法）。常用于含阶乘 $n!$ 的级数。

3. 根值判别法 (Cauchy)：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\rho$。

   • $\rho <1$ 收敛，$\rho >1$ 发散。常用于含 $n$ 次幂 $(...{)}^n$ 的级数。

4. 积分判别法：函数 $f(x)$ 单调递减非负，那么级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ 与反常积分 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 同敛散。

1.3 交错级数与绝对/条件收敛

1. 绝对收敛：若 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 必定收敛，且称为绝对收敛。

   • （如果是绝对收敛级数，你可以任意打乱项的顺序求和都不影响结果）

2. 条件收敛：若 $\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|$ 发散，称为条件收敛。

3. 莱布尼茨 (Leibniz) 判别法：用于交错级数 $\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n,(a_n>0)$。

   若满足：(1) $a_n$ 单调递减（即 $a_n\ge a_{n+1}$） (2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$，则交错级数必收敛。

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二、 幂级数：收敛域与基本性质

幂级数的形式为 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 或 $\sum a_n(x-x_0{)}^n$。

2.1 求收敛半径 $R$

对系数数列 $\{a_n\}$：

• 比值法：$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

• 根值法：$R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}$

（注：对于缺项幂级数，比如只有偶次项 $\sum a_n{x}^{2n}$，不能直接套上述简单的系数公式，必须老老实实用原数列比值判别法算：令 $lim\left|\frac{a_{n+1}{x}^{2n+2}}{a_n{x}^{2n}}\right|<1$ 解出 $|x|$ 的范围）。

2.2 确定收敛域

• $x\in (-R,R)$ 时绝对收敛；$|x|>R$ 时发散。

• 必须单独检验端点 $x=R$ 和 $x=-R$ 处的数项级数的敛散性。如果收敛则是闭区间界。

2.3 分析性质

在收敛区间 $(-R,R)$ 内部：

• 可 逐项求导：收敛半径不变。

• 可 逐项积分：收敛半径不变。

(注意：对级数求导或积分后，端点的敛散性可能会发生改变！求完之后如果要讨论端点需重新代入检验)。

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三、 函数展开与求和函数

考研级数计算重点：背诵 6 个绝版核心展开，以此拼凑拆解天下！

3.1 六大基本麦克劳林展开公式

1. $e^x$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

2. $\sin x$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

3. $\cos x$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

4. $\frac{1}{1-x}$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(-1<x<1)$

5. $\ln (1+x)$ $=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$

6. $(1+x{)}^{\alpha }$ $=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots (-1<x<1)$

• 第一类：分式型/多项式型系数。如 $\sum \frac{x^n}{n+1}$，通过提取 $x$ 凑微分变成 $x^k$，然后利用逐项求导将其转化为没有分母的几何级数（利用 $\frac{1}{1-x}$ 的和），求出结果后再积分还原（注意初值条件 $S(0)=0$ 等确定积分常数）。

• 第二类：阶乘型系数。如果系数带有 $n!$ 这种，必定往 $e^x,\sin x,\cos x,\sinh x,\cosh x$ 身上靠拢。

3.2 幂级数构造微分方程法 (高阶技巧)

当常规的逐项积分求导无法封闭时，可利用幂级数逐项求导建立微分方程：

1. 设和函数 $S(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$。

2. 分别求出 $S^{\prime }(x),S^{″}(x)$。

3. 寻找 $S(x),S^{\prime }(x),xS(x)$ 或 $x^2{S}^{″}(x)$ 之间的代数关系，建立常微分方程（如 $S^{″}-S=0$）。

4. 代入初值 $S(0)=a_0,S^{\prime }(0)=a_1$ 求解方程，即得和函数。

3.3 离散级数求和高级技巧：错位相消法

有些级数求和（尤其是等差数列乘以等比数列形式的数项级数 $\sum (a+nd)q^n$）难以直接用逐项积分求导解决，可应用代数中的错位相消法：

1. 写出前 $n$ 项和 $S_n=aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}+\dots$

2. 左右同乘公比 $q$ 得到 $q{S}_n$。

3. 两式相减 $(1-q)S_n$，使得中间项转化为易于求和的等比数列。最后取极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$。

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四、 傅里叶 (Fourier) 级数

将周期函数在空间的正交基 $1,\sin nx,\cos nx$ 上展开。

4.1 周期为 $2l$ 的傅里叶展开法

设 $f(x)$ 满足狄利克雷收敛定理（有限个间断点，有限个极值点）。

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

核心系数公式（必须熟记，不可弄错系数！）：

$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$$$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$$$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

4.2 狄利克雷收敛定理（找收敛点的值）

这级数收敛到哪里？

• 在 $f(x)$ 的连续点 $x$，级数收敛到 $f(x)$ 本身。

• 在 $f(x)$ 的间断点 $x_0$，级数收敛到左右极限的中点： $\frac{f(x_0^{+})+f(x_0^{-})}{2}$。

• 在区间的端点 $\pm l$，收敛到两端点单侧极限的中点： $\frac{f(-l^{+})+f(l^{-})}{2}$。

4.3 奇偶延拓与正弦/余弦级数

若 $f(x)$ 仅在 $[0,l]$ 上有定义：

• 延拓为奇函数（奇延拓）：则 $a_0=a_n=0$，展开为纯 正弦级数 $b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$。

• 延拓为偶函数（偶延拓）：则 $b_n=0$，展开为纯 余弦级数 $a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$。