高等数学·7 无穷级数

考纲内容

级数的收敛与发散

• 常数项级数的收敛与发散的概念
• 收敛级数的和的概念
• 级数的基本性质与收敛的必要条件

特殊类型的级数及其收敛性

• 几何级数与 $p$ 级数及其收敛性
• 正项级数收敛性的判别法
• 交错级数与莱布尼茨定理
• 任意项级数的绝对收敛与条件收敛

函数项级数

• 函数项级数的收敛域与和函数的概念
• 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域
• 幂级数的和函数
• 幂级数在其收敛区间内的基本性质
• 简单幂级数的和函数的求法
• 初等函数的幂级数展开式

傅里叶级数

• 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数
• 狄利克雷（Dirichlet）定理
• 函数在 $[-l,l]$ 上的傅里叶级数
• 函数在 $[0,l]$ 上的正弦级数和余弦级数

一、常数项级数

考纲摘要：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件

1. 常数项无穷级数的及其相关概念的定义

• 常数项无穷级数的定义：如果给定一个数列：$u_1,u_2,u_3,\cdots ,u_n,\cdots$ 则表达式 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 叫做**(常数项)无穷级数**，简称(常数项)级数，其中第 $n$ 项 $u_n$ 叫做级数的一般项
• 部分和：做上述常数项级数的前 $n$ 项和：$s\ast n=u_1+u_2+\cdots +u_n$，它称为级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 的部分和
• 收敛与发散：如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 的部分和数列 $\{s_n\}$ 有极限 $s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=s$，那么称无穷级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛 这个时候的极限 $s$ 叫做这个级数的和，写作：$s=u_1+u_2+\cdots +u_i+\dots$ 如果 $\{s_n\}$ 没有极限，则称无穷级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 发散
• 级数的余项：当级数收敛时，其部分和 $s_n$ 是级数的和 $s$ 的近似值，其差值：$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+\dots$ 称为级数的余项，如果用 $s_n$ 来替代 $s$ 则误差是余项的绝对值，即 $|r_n|$

2. 收敛级数的性质

• 如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛于 $s$，那么级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}k{u}_i$ 也收敛，且其和为 ks

• 如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛于 $s$，级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_i$ 收敛于 $\sigma$，则级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i\pm v_i$ 收敛于 $s\pm \sigma$ 也就是说，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减

• 在级数中删除或添加有限的项，不会改变级数的收敛性（但是和可能会改变）

• 如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛，则这个级数的项任意加括号后的新级数 $(u_1+\cdots +u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots +u_{n_2})+\cdots +(u_{n_{k-1}+1}+\cdots +u_{n_k})+\cdots$ 仍然收敛，且和不变

  注意：加括号后的级数收敛，原来的级数不一定收敛，例如：$(1-1)+(1-1)+\cdots$ 收敛于 0，而 $1-1+1-1+\cdots$ 是发散的

  • 如果加括号后的级数是发散的，则原来的级数也是发散的
  • 如果原来的级数是收敛的，则加括号后的级数也是收敛的

• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛的必要条件是 $\underset{n\to 0}{lim}{u}_n=0$

  注意：不是充分条件，例如调和级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i}$，其一般项趋于0，但它不是收敛级数

• 柯西审敛原理：级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛的充要条件为：对于任意的整数 $\epsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，对于任意正整数 $p$，以下不等式都成立：

$$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+p}|<p$$

3. 常数项无穷级数举例

考纲摘要：掌握几何级数与 $p$ 级数的收敛与发散的条件

1. 几何级数（等比级数）

$$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^i=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^i+\dots$$

这个级数叫做几何级数（也叫等比级数），其中 $a\ne 0$，$q$ 叫做级数的公比

显然，

$$s_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$$

这个级数的敛散性：

• 如果 $|q|\ge 1$，则这个级数发散
• 如果 $|q|<1$，则这个级数收敛

2. $p$ 级数（超调和级数）

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots +\frac{1}{i^p}+\cdots$$

这个级数叫做 $p$ 级数（也叫超调和级数），当 $p=1$ 时，这个级数就是调和级数。

这个级数的敛散性：

• $p>1$ 时，$p$ 级数收敛
• $p\le 1$ 时，$p$ 级数发散

二、正项级数的审敛法

考纲摘要：掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法

如果一个级数的各项都是正数或者为0，则这种级数就称为正项级数据说许多级数的收敛性问题都可以归结为正项级数的收敛性问题

1. 正项级数的审敛法

1. 正项级数收敛的充要条件

正项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛的充要条件：它的部分和数列 $\{s_n\}$ 有界

柯西申敛原理：级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ 收敛的充要条件为：对于任意的整数 $\epsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，对于任意正整数 $p$，以下不等式都成立：

$$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+p}|<p$$

2. 比较审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 都是正项级数，且 $u_n\le v_n$

• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛
• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 发散

推论：

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 都是正项级数，设有正整数 $N$

• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 收敛， $n\ge N$ ，有 $u_n\le k{v}_n,k>0$，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛
• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 发散，且当 $n\ge N$ 时有 $u_n\ge k{v}_n,k>0$ ，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散

这里的 $k$ 是常数，有些类似于《算法导论》中提到的函数渐进式的概念，毋宁说”放缩法“

有时候可以通过基本不等式来构造这种放缩。

比较审敛法的极限形式

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 都是正项级数

• 如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\mathrm{\infty })$ ，且级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛

  或者说，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$u_n,v_n$ 如果是同阶无穷小，则它们的收敛性相关联

• 如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l>0,\mathrm{或}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=+\mathrm{\infty }$，且级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 发散，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散

  如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=+\mathrm{\infty }$ 且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 收敛，则无法判别 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 的敛散性

经验之谈：

常常用于产生比较申敛法的来源；

• 基本不等式 $ab\le \frac{1}{2}(a^2+b^2)$
• 拉格朗日中值定理
• 等阶无穷大
• 如果收敛级数 $\sum v_n$ 是有界的，则可以设 $|v_n|\le M$，进而，对于任意正项级数 $\sum u_n$。$\sum |u_n{v}_n|\le M\sum u_n$

3. 比值审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 是正项级数，如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

• $\rho <1$ 时级数收敛
• $\rho >1$ 时级数发散
• $\rho =1$ 时级数的敛散性不确定

对于比值审敛法与根值审敛法，一个常见的误区是，收敛并不意味着 $\rho <1$，因为 $\rho =1$ 时敛散性不确定

4. 根值审敛法

根值审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 是正项级数，

如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ，则：

• $\rho <1$ 时级数收敛
• $\rho >1$ 时级数发散
• $\rho =1$ 时级数的敛散性不确定

5. 极限审敛法

极限审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 是正项级数

• 如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{u}_n=l>0$，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散
• 设 $p>1$，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^p{u}_n=l,l\in [0\le l<+\mathrm{\infty })$，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛

也就是说，$\sum _n^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 是 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{u}_n=0$ 的充分不必要条件

6. 积分审敛法

设 $f(x)$ 在区间 $[1,\mathrm{\infty })$ 上为连续、非负、单调递减的函数，且 $f(n)=a_n$，则

• 如果 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛
• 如果 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 发散

2. 正项级数审敛法总结

• 分析出渐进式，尝试使用放缩法，找到一个方便分析敛散性的级数间接论证此级数的敛散性
• 利用比值审敛法或根值审敛法进行论证
• 利用极限审敛法进行论证

三、交错级数的审敛法

考纲摘要：掌握交错级数的莱布尼茨判别法

交错级数的莱布尼茨审敛法是一种用来判断交错级数是否收敛的方法。交错级数的形式通常是：

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$$

其中 $a_n$ 是非负数列（即 $a_n\ge 0$）。

莱布尼茨审敛法的条件是：

1. 单调递减：数列 $a_n$ 必须单调递减，即 $a_{n+1}\le a_n$ 对所有 $n$ 成立。
2. 极限为零：数列 $a_n$ 的极限必须为零，即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$。

如果满足这两个条件，则交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$ 收敛。

示例：考虑交错级数：

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$$

这是一个交错级数，其中 $a_n=\frac{1}{n}$。

1. 单调递减：$\frac{1}{n}$ 是单调递减的，因为随着 $n$ 的增加，$\frac{1}{n}$ 的值变小。
2. 极限为零：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$。

因此，根据莱布尼茨审敛法，这个交错级数收敛。

需要注意的是，莱布尼茨审敛法只判断交错级数是否收敛，并不提供级数的和。

四、绝对收敛与条件收敛

考纲摘要：了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系

在数学中，对于级数的收敛性有两种重要的概念：条件收敛和绝对收敛。这两者的定义和区别如下：

绝对收敛：

一个级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 如果其绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ 收敛，则称该级数绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛，即：

• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛。

条件收敛：

一个级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 如果收敛（即 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛），但其绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$发散，则称该级数条件收敛。条件收敛的级数在某些情况下可能很难直接判断是否收敛，但通过绝对收敛的性质我们可以更容易地处理。

例子说明：

• 绝对收敛的例子：$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$$这是一个绝对收敛的级数，因为其绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{1}{n^2}\right|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ 收敛。
• 条件收敛的例子：$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$$这是一个条件收敛的级数，因为它的绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$（即调和级数）发散，而这个级数本身根据莱布尼茨审敛法收敛。

关键点总结：

• 绝对收敛：若级数 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
• 条件收敛：若级数 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则 $\sum a_n$ 为条件收敛。

绝对收敛是更强的收敛条件，所有绝对收敛的级数都条件收敛，但并非所有条件收敛的级数都是绝对收敛的。

级数的柯西乘积

考纲摘要：2024 年数学一考纲上好像没有，但是仍然对其进行摘录

设有级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$，构造它的以下乘积：

$$\begin{array}{cccccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& u_1{v}_3& \cdots & u_1{v}_i& \cdots \\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& u_2{v}_3& \cdots & u_2{v}_i& \cdots \\ u_3{v}_1& u_3{v}_2& u_3{v}_3& \cdots & u_3{v}_i& \cdots \\ \cdots \\ u_k{v}_1& u_k{v}_2& u_k{v}_3& \cdots & u_k{v}_i& \cdots \end{array}$$

然后按对角线法，将其排列成一个级数：

$$u_1{v}_1+(u_1{v}_2+u_2{v}_1)+\cdots +(u_1{v}_n+u_2{v}_{n-1}+\cdots +u_n{v}_1)+\cdots$$

称这个级数为 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 的柯西乘积

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 分别收敛于 $s,\sigma$，则它们的柯西乘积收敛于 $s\sigma$

五、函数项级数的概念

考纲摘要：了解函数项级数的收敛域及和函数的概念

设 $u_i(x)$ 的定义域是 $I$ ，则 $u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots +u_n(x)+\dots$ 称作定义在 $I$ 上的函数项无穷级数

在 $I$ 取一个确定的值 $x_0$ ，就可以得到一个常数项级数 $u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+\cdots +u_n(x_0)+\dots$

• 如果这个常数项级数收敛，则称 $x_0$ 为该函数项级数的收敛点
• 如果这个常数项级数发散，则称 $x_0$ 为该函数项级数的发散点
• 全部收敛点的集合称为收敛域
• 全部发散点的集合称为发散域

在收敛域上，函数项级数的和是 $x$ 的函数 $s(x)$，称 $s(x)$ 为函数项级数的和函数，

这个函数的定义域就是这个函数项级数的收敛域。也就是：

$$s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots +u_n(x)+\dots$$

函数项级数的前 $n$ 项的部分和记作 $s_n(x)$，则在收敛域上有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n(x)=s(x)$$

记 $r_n(x)=r(x)-s_n(x)$，则 $r_n(x)$ 称作函数项级数的 余项

六、幂级数及其收敛性

考纲摘要：

1. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念
2. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法
3. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和

幂级数的基本形式：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\dots$$

其中，$a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$ 叫做幂级数的系数

对于以下幂级数：

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\dots ,x\in (-1,1)$$

$(-1,1)$ 就是它的收敛区间，此时它收敛于 $\frac{1}{1-x}$，而其发散域就是 $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty }]$

1. 阿贝尔定理

如果级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 在 $x=x_0$ 时收敛，那么 $\mathrm{\forall }x\in (-|x_0|,|x_0|)$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 收敛

如果 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 在 $x=x_0$ 时发散，那么 $\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },-|x_0|)\cup (|x_0|,+\mathrm{\infty })$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 发散

由阿贝尔定理揭示的收敛区间的特性，可知收敛区间必定是对称的，因此提出了收敛半径的概念

2. 收敛半径

• 如果幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 不仅在 $x=0$ 点收敛，也不在整个数轴上收敛，则必有 $R>0$ ，使得：

• 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛

• 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散

• 当 $x=\pm R$ 时，幂级数敛散性不确定，需要单独论证

这个 $R$ 就称作幂级数的收敛半径，开区间 $(-R,R)$ 称为收敛区间

收敛半径的计算

对于幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$，如果：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$$

则这个幂级数的收敛半径为：

$$R=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\rho }& \rho \ne 0\\ +\mathrm{\infty }& \rho =0\\ 0& \rho =+\mathrm{\infty }\end{array}$$

这种收敛半径计算方法的本质：

直接对幂级数使用比值判别法：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}{x}^{n+1}}{a_n{x}^n}\right|=\rho |x|$$

根据比值判别法判定收敛的要求，有：

$$\rho |x|<1,|x|<\frac{1}{\rho }$$

因此，$\frac{1}{\rho }$ 就成了收敛半径。

然而，这只适用于幂级数中 $x$ 的指数 $n$ 是连续的情况，在它不连续时，我们仍需要回归比值判别法进行论证。例如：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\cdots$$

级数中的每一项，$x$ 的指数并非连续，因此，如果套用这里给出的收敛半径计算公式，则 $a_n$ 对应于 $x^n$ 的系数，这就导致当 $n+1$ 为奇数时，$n$ 为偶数，所对应的 $a_n=0$，也就是说，如果套用这里的收敛半径计算公式，实际上 $\rho$ 极限是不存在的。为了计算它的收敛半径，需要回归比值判别法：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{(-1{)}^n}{2n+3}{x}^{2n+3}/\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+1}{2n+3}{x}^2=x^2$$

而根据比值判别法，要令该幂级数收敛，则 $x^2\le 1$，并单独论证 $x^2=1$ 时的敛散性，而收敛半径自然也就求出来了，是 1

七、幂级数的运算

1. 幂级数之间的加减乘除

设有以下两个幂级数：

$$\begin{gathered} a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots \\ {b}_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots \end{gathered}$$

且分别在区间 $(-R,R),(-R^{\prime },R^{\prime })$ 内收敛。

1. 加减法

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )\pm (b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )$

$=(a_0\pm b_0)+(a_1\pm b_1)x+(a_2\pm b_2)x^2+(a_3\pm b_3)x^3+\cdots +(a_n\pm b_n)x^n+\dots$

上式在 $(-R,R),(-R^{\prime },R^{\prime })$ 中较小的区间内成立

2. 乘法

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )$

$=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)x^2+\cdots +(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots +a_{n-1}{b}_1+a_n{b}_0)x^n+\dots$

这也叫两个幂级数的柯西乘积，上式在 $(-R,R),(-R^{\prime },R)$ 中较小的区间内成立

3. 除法

$$\frac{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\dots }{b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_n{x}^n+\dots }=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_n{x}^n+\dots$$

假设 $b\ne 0$，有关 $c_i$ 的求法：

$$\begin{array}{rl}& a_0=b_0{c}_0\\ & a_1=b_1{c}_0+b_0{c}_1\\ & a_2=b_2{c}_0+b_1{c}_1+b_0{c}_2\\ & \dots \dots \dots \end{array}$$

与柯西乘积在形式上类似

2. 和函数的性质

• 幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续
• 幂函数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，且有逐项积分公式：

$$\begin{gathered} {\int }_0^{x}s(t)\mathrm{d}t={\int }_0^x\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{t}^n\right]\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^x{a}_n{t}^n\mathrm{d}t= \\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1},x\in I \end{gathered}$$

并且 ${\int }_0^{x}s(t)\mathrm{d}t$ 的收敛半径不变（收敛域可能改变）

• 幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且有逐项求导公式：

$$s^{\prime }(x)={\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right]}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1},|x|<R$$

因此，$s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内具有任意阶导数

并且 s'(x) 的收敛半径不变（收敛域可能改变）

八、函数展开成幂级数

考纲摘要：

1. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件
2. 掌握 $e^x,\sin x,\cos x,\ln (1+x),(1+x{)}^a$ 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

1. 泰勒级数

如果 $f(x)$ 在某个 $U(x_0)$ 内具有任意阶导数，则 $x\in U$，有：

$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n= \\ f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\dots \end{gathered}$$

这是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数，取 $x_0=0$ ，则称之为麦克劳林级数

函数可以展开为泰勒级数的充要条件

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域 $U(x_0)$ 内具有各阶导数，则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是在该邻域内 $f(x)$ 的泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 满足：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_n(x)=0,x\in U(x_0)$$

2. 常见泰勒级数

1. 原初五级数

$$\begin{array}{rl}& e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,x\in R\\ & \sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,x\in R\\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}+\cdots ,x\in R\\ & \ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}+\cdots ,x\in (-1,1]\\ & (1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\dots (a-n+1)}{n!}{x}^n+\dots ,x\in (-1,1)\end{array}$$

通过对这些常见级数进行求导、积分、换元等，可以求出一些简单函数的泰勒级数，例如：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{x+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots ,x\in (-1,1)\\ & \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,x\in (-1,1)\end{array}$$

对 $\ln (x+1)$ 求导，即可得到 $\frac{1}{x+1}$ 的泰勒级数，然后将 $-x$ 替换 $x$，即可得到 $\frac{1}{1-x}$ 的泰勒级数

另外，利用这些规则，我们可以证明欧拉公式：

$$\begin{gathered} e^{ix}=1+(ix)+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\cdots = \\ 1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\cdots = \\ (1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots )= \\ \cos x+i\sin x \end{gathered}$$

2. 派生的泰勒级数

1. $\ln (1+x)$ 的派生

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^n\\ & \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\end{array}$$

3. 例题

1. 例题 1

$$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(2n-1)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})= \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots )=2\ln (1+1)=2\ln 2 \end{gathered}$$

2. 例题 2

$$\begin{gathered} \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{x}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{x}^n=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(n^2-n)x^n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^n= \\ {x}^2\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)x^{n-2}+x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}=x^2(\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{)}^{″}+x(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{)}^{\prime }= \\ {x}^2(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n-1-x{)}^{″}+x(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n-1{)}^{\prime }= \\ {x}^2(\frac{1}{1-x}-1-x{)}^{″}+x(\frac{1}{1-x}-1{)}^{\prime }=\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3} \end{gathered}$$

九、傅里叶级数

1. 傅里叶级数的基本概念

考纲摘要：了解傅里叶级数的概念

傅里叶级数是将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。这种表示法在信号处理、振动分析等领域具有广泛应用。傅里叶级数的基本思想是：任何周期函数都可以分解为若干不同频率的正弦和余弦波的线性组合。

周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数形式为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$$

其中，$a_n$ 和 $b_n$ 是傅里叶系数，代表正弦、余弦项的权重，具体的计算公式如下。

傅里叶系数的计算：

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx(n=1,2,3,\dots )b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx(n=1,2,3,\dots )$$

补充：对于正弦函数 $y=A\sin (\omega t+\phi )$：

• 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$
• $y$ 表示动点的位置
• $A$ 表示振幅
• $\omega$ 为角频率
• $\phi$ 为初相

2. 傅里叶级数的收敛性

考纲摘要：了解狄利克雷收敛定理

狄利克雷收敛定理：如果函数 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，并且满足以下条件：

1. 在一个周期内，$f(x)$ 至多有有限个极值点；
2. 在一个周期内，$f(x)$ 连续或只有有限个有限阶间断点；

那么傅里叶级数在连续点处收敛于 $f(x)$，在间断点处收敛于 $\frac{1}{2}(f(x^{-})+f(x^{+}))$，即左右极限的平均值。

3. 周期为 $2l$ 的函数傅里叶级数展开

考纲摘要：会将定义在 $[-l,l]$ 上的函数展开为傅里叶级数

对于周期为 $2l$ 的周期函数 $f(x)$，其傅里叶级数展开形式为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

其中，傅里叶系数的计算公式为：

$$\begin{gathered} a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx \\ {a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx \\ {b}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx \end{gathered}$$

4. 正弦级数和余弦级数

考纲摘要：会将定义在 $[0,l]$ 上的函数展开为正弦级数与余弦级数

正弦级数和余弦级数是傅里叶级数的特例，分别适用于奇函数和偶函数。

1. 正弦级数

若 $f(x)$ 是定义在 $[0,l]$ 上的函数，我们可以通过奇延拓将其扩展到 $[-l,l]$，并将其傅里叶级数仅表示为正弦项。这时的傅里叶级数称为正弦级数：

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l}$$

其中：

$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

2. 余弦级数

若 $f(x)$ 是定义在 $[0,l]$ 上的函数，我们可以通过偶延拓将其扩展到 $[-l,l]$，并将其傅里叶级数仅表示为余弦项。这时的傅里叶级数称为余弦级数：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}$$

其中：

$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$$

5. 如何将 $[0,l]$ 上的函数展开为正弦级数或余弦级数

考纲摘要：会将定义在 $[0,l]$ 上的函数展开为正弦级数与余弦级数

对于定义在 $[0,l]$ 上的函数 $f(x)$，我们有两种方式展开其傅里叶级数：

• 如果函数在 $[0,l]$ 上奇延拓到 $[-l,l]$，则其傅里叶级数展开为正弦级数；
• 如果函数在 $[0,l]$ 上偶延拓到 $[-l,l]$，则其傅里叶级数展开为余弦级数。

这种延拓方式为将非周期函数通过傅里叶级数表示提供了灵活性。

6. 傅里叶级数的和函数表达式

考纲摘要：会写出傅里叶级数的和函数的表达式

傅里叶级数的和函数表述了傅里叶级数在某些点的收敛值。根据狄利克雷收敛定理，当傅里叶级数满足一定条件时：

• 在函数的连续点 $x$ 处，傅里叶级数收敛于 $f(x)$；
• 在函数的间断点 $x$ 处，傅里叶级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$，即左右极限的平均值。

示例

考虑函数 $f(x)$ 定义为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& -\pi <x<0\\ 1,& 0\le x<\pi \end{array}$$

我们可以通过傅里叶级数展开它。首先计算傅里叶系数：

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }1dx=1a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (nx)dx=0(n=1,2,3,\dots )b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (nx)dx=\frac{1}{n\pi }[1-(-1{)}^n](n=1,2,3,\dots )$$

最终的傅里叶级数为：

$$f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-(-1{)}^n}{n\pi }\sin (nx)$$

由于 $x=0$ 是间断点，在该点级数收敛于 $\frac{1}{2}(f(0^{-})+f(0^{+}))=\frac{1}{2}$。

这个例子展示了傅里叶级数在分段函数中的应用。