09 常微分方程

常微分方程这部分更偏向题型化，是定积分与微分学知识高度融合的一个结晶。在考场上，只要认出它是什么类型的方程，就能直接套公式或套固定步骤解出。难点在于变限积分中隐藏的微分方程以及复合函数的还原。

---

一、 一阶常微分方程的四大基本类型

拿到一个一阶微方程 $F(x,y,y^{\prime })=0$，第一步是进行类型判定。

前置陷阱（变限积分与极限式引出的微分方程）：

1. 见到 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 或 ${\int }_0^{x}tf(x-t)dt$ 等积分方程时，应当两边求导转化为微分方程。此时通常伴随隐含的初值条件（如令 $x=0$ 得到 $f(0)$ 等）。

2. 见到复杂的函数极限极限式如 $\underset{h\to 0}{lim}{\left[\frac{f(x+hx)}{f(x)}\right]}^{\frac{1}{h}}$，应取对数利用导数定义化简得到 $x{f}^{\prime }(x)/f(x)$ 从而建立微分方程。

1.1 可分离变量的微分方程

• 特征：能化为 $f(y)dy=g(x)dx$ 或 $y^{\prime }=f(x)g(y)$。

• 解法：两边强行分离变量后直接积分：$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C$。

1.2 齐次微分方程

• 特征：方程可化为 $\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$。

• 解法：作代换 $u=\frac{y}{x}$，即 $y=ux$，则 $y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$。

  代入原方程得到 $u+x\frac{du}{dx}=\varphi (u)$，分离变量： $\frac{du}{\varphi (u)-u}=\frac{dx}{x}$。

  解出 $u$ 后，把 $u=y/x$ 换回来。

1.3 一阶线性微分方程 (极其重要)

• 特征：形如 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$。（注意 $y^{\prime }$ 的系数必须化为 1）

• 解法（通解公式，必须熟记）：

  $$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$

1.4 伯努利 (Bernoulli) 方程

• 特征：形如 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$。

• 解法：除以 $y^n$，得 $y^{-n}{y}^{\prime }+P(x)y^{1-n}=Q(x)$。

  令 $z=y^{1-n}$，则 $z^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }$。代入化简为 $z$ 的一阶常系数线性方程：

  $$\frac{z^{\prime }}{1-n}+P(x)z=Q(x)$$

  用线性方程公式解出 $z$ 后，再换回 $y$。

---

二、 可降阶的高阶微分方程

这类微分方程通常缺少 $y$ 或缺少 $x$。

1. $y^{(n)}=f(x)$ 型：连续积分 $n$ 次。

2. 缺 $y$ 型：形如 $f(x,y^{\prime },y^{″})=0$。

   • 代换法：令 $y^{\prime }=p$，则 $y^{″}=\frac{dp}{dx}=p^{\prime }$。方程化为一阶方程 $f(x,p,p^{\prime })=0$。解出 $p$ 后再积分一次得 $y$。

3. 缺 $x$ 型：形如 $f(y,y^{\prime },y^{″})=0$。

   • 代换法：令 $y^{\prime }=p$。由于缺 $x$，将 $p$ 视为 $y$ 的函数！

     此时 $y^{″}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$。方程化为 $f(y,p,p\frac{dp}{dy})=0$。

---

三、 高阶常系数齐次线性微分方程

• 通用特征方程表示：对 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$，写出 $r^2+pr+q=0$。求根 $\mathrm{\Delta }=p^2-4q$。

| 特征根 $r$ 的情况 | $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的通解公式 |

| :--- | :--- |

| 实数双根 $r_1\ne r_2$ ($\mathrm{\Delta }>0$) | $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$ |

| 实数重根 $r_1=r_2=r$ ($\mathrm{\Delta }=0$) | $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$ |

| 共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$ ($\mathrm{\Delta }<0$) | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$ |

更高阶的推演规律（三阶及以上）：

特征方程若求出单实根 $r$，对应 $C{e}^{rx}$。若求出 $k$ 重实根 $r$，对应 $e^{rx}(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})$。复根同理补 $x$。

---

四、 高阶常系数非齐次线性微分方程

形如 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$，通解等于 齐次方程通解 $Y$ + 自身的一个特解 $y^{\ast }$。关键在于求 $y^{\ast }$！

4.1 多项式与指数相乘型： $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$

• 特解设法：设 $y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}{Q}_m(x)$。

  • 其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的一般多项式。

  • $k$ 的取值视指数上的 $\lambda$ 与特征根的关系而定：

    • $\lambda$ 不是 特征根： 取 $k=0$

    • $\lambda$ 是单根： 取 $k=1$

    • $\lambda$ 是二重根： 取 $k=2$

4.2 三角函数型： $f(x)=e^{\lambda x}(P_l(x)\cos \omega x+P_n(x)\sin \omega x)$

• 特解设法：设 $y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m(x)\cos \omega x+S_m(x)\sin \omega x]$

  • 其中 $m=max(l,n)$，则 $R_m,S_m$ 为 $m$ 次一般多项式（无论等式左边有没有出现其中一个函数，另一个必须带上）。

  • 取决于复数 $\lambda +\omega i$：

    • 不是 特征根：取 $k=0$。

    • 是特征根：取 $k=1$。

• 计算小技巧：如果遇到三角函数形式过于庞大可以转换成欧拉公式去硬算复数指数。

---

五、 欧拉方程 (Euler's Equation)

• 特征：各项微商阶数与前面所乘自变量 $x$ 的平幂次相同：

  $$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)(x>0)$$

• 固定解法：通过自变量替换 $x=e^t$ (即 $t=\ln x$)，将其转化为常系数线性微分方程求解。

  • 代数关系必须背过：

    $$x{y}^{\prime }=\frac{dy}{dt}$$$$x^2{y}^{″}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}$$$$x^3{y}^{‴}=\frac{d^{3}y}{d{t}^3}-3\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}$$

  将其代入即可轻松降阶！

---

六、 微分方程解的结构与性质运用

如果已知某个常系数线性方程的几个解序列为 $y_1,y_2,y_3$ 等：

1. 若微分方程为 $y^{″}+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$ 的齐次方程：如果 $y_1,y_2$ 线性无关，则 $C_1{y}_1+C_2{y}_2$ 是通解。

2. 若为非齐次方程 $y^{″}+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$：

   • 两个解的差 $y_1-y_2$ 必定是对应齐次方程的解。

   • $y=(\text{齐次解})+y^{\ast }$ 是该非齐次方程的通解。

3. 观察非齐次方程如果满足 $y^{″}+2y^{\prime }+y=x+1$，而有一个解带有系数 $(1+x^2)$，必定能通过解的线性运算凑出特解。

6.1 高阶技巧：微分方程的恒等式积分属性

对于诸如 $f^{″}(x)+a{f}^{\prime }(x)+f(x)=0(a>0)$ 要求计算 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 的题目：

• 思路：直接对方程两边在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上求积分，变为 $f^{\prime }(x){|}_0^{+\mathrm{\infty }}+af(x){|}_0^{+\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=0$。

• 分析：当特征方程的根均具有负实部时（如通过判定 $\mathrm{\Delta }$ 和根的公式确认底数指数小于 0），解 $f(x)$ 和 $f^{\prime }(x)$ 在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时极限必然为 $0$。此时反常积分可完全由给定的初值条件解出，避免了繁琐的通解积分运算！