高等数学·8 常微分方程

考纲内容

• 常微分方程的基本概念
• 变量可分离的微分方程
• 齐次微分方程
• 一阶线性微分方程
• 伯努利（Bernoulli）方程
• 全微分方程
• 可用简单的变量代换求解的某些微分方程
• 可降阶的高阶微分方程
• 线性微分方程解的性质及解的结构定理
• 二阶常系数齐次线性微分方程
• 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
• 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
• 欧拉（Euler）方程
• 微分方程的简单应用

一、微分方程基本概念

考纲摘要：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

• 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程
• 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶

$n$ 阶微分方程的一般形式：

$$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0$$

• 微分方程的解：设函数 $y=\phi (x)$ 在区间 $I$ 上有 $n$ 阶连续导数，如果在区间 $I$ 上 $F[x,\phi (x),{\phi }^{\prime }(x),\cdots ,{\phi }^{(n)}]=0$，那么函数 $\phi (x)$ 就叫该微分方程在区间 $I$ 上的解
• 微分方程的通解：如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就是微分方程的通解
• 当给定初始条件时，通解中的任意常数就可以被确定，这样就可以得到微分方程的特解

二、一阶微分方程

1. 可分离变量的微分方程

考纲摘要：掌握变量可分离的微分方程的解法

如果一个一阶微分方程可以写成 $g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$ 的形式，这个方程就叫做可分离变量的微分方程

左右积分可得 $G(y)=F(x)+C$ 这就叫做隐式通解

考法：

• 求解可分离变量的微分方程
• 列出微分方程（通常是可分离变量的微分方程），求解简单的实际问题

2. 一阶线性微分方程

考纲摘要：一阶线性微分方程的解法

1. 一般的一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的基本形式如下所示：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

如果 $Q(x)\equiv 0$，则称之为齐次线性方程。齐次线性方程的求解公式：

$$y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x},C=\pm e^{c_1}$$

非齐次线性方程的求解公式：

$$u=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C$$

然后用这个 $u$ 替换齐次线性方程公式中的 $C$ 即可。

完整的非齐次线性微分方程求解公式：

$$\begin{gathered} y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x= \\ {e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}(C+\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x) \end{gathered}$$

2. 伯努利方程

考纲摘要：会解伯努利方程

伯努利方程的基本形式：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n,(n\ne 0,1)$$

限定 $n\ne 0,1$ 是因为如果 $n=0,1$，方程就可以直接化成一个一阶线性微分方程

对这个方程变形：

$$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

显然，$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^{1-n})$ 那么，只需令 $z=y^{1-n}$，就可以得到一个一阶线性微分方程：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

之后，按照一阶线性微分方程的解法求出 $z$ 后即可求出 $y$

3. 题型

• 求解一阶线性微分方程
• 列出一阶线性微分方程解决一些简单的实际问题
• 利用变量代换把微分方程化为可分离变量的微分方程并进行求解
• 求解伯努利方程

3. 齐次微分方程

考纲摘要：会解齐次微分方程

1. 齐次方程的解法

如果一个方程可以化为这样的形式：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi (\frac{y}{x})$$

则称之为齐次方程

齐次方程的解法：

令 $u=\frac{y}{x}$

直接得到：

$$\frac{\mathrm{d}u}{\varphi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

两边积分即可，再用 $y$ 和 $u$ 的关系化一下即可。

推导过程

$$\begin{gathered} y=ux,\mathrm{d}y=\mathrm{d}(ux)=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \end{gathered}$$

也就是说：

$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi (u)$$

进而化成：

$$\frac{\mathrm{d}u}{\varphi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

这样两边积分之后，求出了 $u(x)$，那么 $y(x)=xu(x)$

2. 把微分方程化为齐次方程

以下方程：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}$$

当 $c=c_1=0$ 时，可以直接化成齐次方程，而在其不为 0 时，可以先做如下变换：

令 $X=x+h,Y=y+k$，则 $\mathrm{d}X=\mathrm{d}x,\mathrm{d}Y=\mathrm{d}y$ 那么，有：

$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{a_{1}X+b_{1}Y+a_{1}h+b_{1}h+c_1}$$

求解以下方程：

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ a_1& b_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}h\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-c\\ -c_1\end{array}\right]$$

这样求出的 $h,k$ 会使得原方程中不再含有常数项，因此可以进一步化为齐次方程，之后就可以按照齐次方程的解法对其进行求解

• 求解可以化为齐次方程的一阶微分方程
• 把一阶微分方程化为齐次方程

4. 全微分方程

考纲摘要：会解全微分方程

全微分方程的基本形式：

$$M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$$

判断一个方程是否是全微分方程，需要检查以下条件是否成立：

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

如果这个条件成立，则存在一个函数 $F(x,y)$，使得：

$$\mathrm{d}F=M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y$$

这就是全微分的形式，可以很方便的求出 $F(x,y)$，这样一来，所求微分方程就是隐函数 $F(x,y)=0$

考虑二元函数的全微分的形式：

$$\mathrm{d}F=\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y$$

所以这里 $M$ 被期望为 $\frac{\partial F}{\partial x}$，$N$ 被期望为 $\frac{\partial F}{\partial y}$，而需要检查的条件 $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$，本质上是在测试：

$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y\partial x}$$

根据偏微分的性质，这个条件必须是成立的，否则 $M,N$ 就不是同一个二元函数不同变量的偏导数。

三、可降阶的高阶微分方程

考纲摘要：会用降阶法解下列形式的微分方程：$y^{(n)}=f(x),y^{″}=f(x,y^{\prime }),y^{″}=f(y,y^{\prime })$

1. $y^{(n)}=f(x)$ 型

显然，有：

$$\begin{gathered} y^{(n-1)}=\int f(x)\mathrm{d}x+C_1 \\ {y}^{(n-2)}=\int [\int f(x)\mathrm{d}x+C_1]+C_2 \\ \cdots \end{gathered}$$

进行 $n$ 次积分后即可求解出 $y$

2. $y^{″}=f(x,y^{\prime })$ 型

可以设 $p=y^{\prime }$，则 $y^{″}=p^{\prime }$，原方程可化为

$$p^{\prime }=f(x,p)$$

这就成了一个一阶微分方程，利用一阶微分方程的解法求解出 $p(x,C_1)$，则 $y=\int p(x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$

3. $y^{″}=f(y,y^{\prime })$ 型

令 $y^{\prime }=p$ 那么：

$$y^{″}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$$

这样就得到了一阶微分方程：

$$p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$$

进一步，利用一阶微分方程的解法求出 $p=\phi (y,C_1)$

显然，这样一来实际上相当于降阶地得到了：

$$y^{\prime }=\phi (y,C_1)$$

这样一个一阶微分方程方程，再次利用一阶微分方程的解法求解该方程，即可求出 $y$

4. 题型

• 求解一些简单的可降到一阶的高阶微分方程
• 利用这样的微分方程求解一些简单的实际问题

四、高阶线性微分方程

考纲摘要：理解线性微分方程解的性质及解的结构

1. 重点知识

1. $n$ 阶齐次线性方程

基本形式：

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$$

如果 $y_1(x).y_2(x),\dots ,y_n(x)$ 是上面的方程的 $n$ 个线性无关的解那么，$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$ 就是这个方程的通解

对于 $n$ 个函数 $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$，存在不全为零的 $n$ 个数 $k_1,k_2,\dots ,k_n$，使得 $k_1{y}_1(x)+k_2{y}_2(x)+\cdots +k_n{y}_n(x)\equiv 0$，则称这 $n$ 个函数是线性相关的，否则就是线性无关

在这里，主要研究 2 阶齐次线性方程

2. 2 阶非齐次线性方程的通解

2 阶非齐次线性方程的基本形式：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x)$$

设 $y^{\ast }(x)$ 是其特解，$Y(x)$ 是其对应的齐次线性方程的通解，则

$$y=Y(x)+y^{\ast }(x)$$

是该 2 阶非齐次线性方程的通解

其中，特解存在叠加原理，即如果方程表示成：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x_1)+f(x_2)$$

而 $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$ 分别是

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x_1) \\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x_2) \end{gathered}$$

的特解，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是原方程的特解。

3. 常数变易法求非齐次线性方程的通解

已知对应的齐次线性方程的通解：$Y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 可利用常数变易法求出非齐次线性方程的通解

可用未知函数 $u_1(x),u_2(x)$ 替换 $C_1,C_2$ 得到 $y=u_1{y}_1+u_2{y}_2$ 求导，得 $y^{\prime }=u_1{y}_1^{\prime }+u_2{y}_2^{\prime }+u_1^{\prime }{y}_1+u_2^{\prime }{y}_2$

设 $u_1^{\prime }{y}_1+u_2^{\prime }{y}_2\equiv 0$

在此条件下，$y^{\prime }=u_1{y}_1^{\prime }+u_2{y}_2^{\prime },y^{″}=u_1{y}_1^{″}+u_2{y}_2^{″}+u_1^{\prime }{y}_1^{\prime }+u_2^{\prime }{y}_2^{\prime }$ 代入 $y^{″}+P{y}^{\prime }+Qy=F$ 中：

$$\begin{gathered} u_1{y}_1^{″}+u_2{y}_2^{″}+u_1^{\prime }{y}_1^{\prime }+u_2^{\prime }{y}_2^{\prime }+P(u_1{y}_1^{\prime }+u_2{y}_2)+Q(u_1{y}_1+u_2{y}_2)= \\ {u}_1(y_1^{″}+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1)+u_2(y_2^{″}+P{y}_2^{\prime }+Q{y}_2)+u_1^{\prime }{y}_1^{\prime }+u_2^{\prime }{y}_2^{\prime }= \\ {u}_1^{\prime }{y}_1^{\prime }+u_2^{\prime }{y}_2^{\prime }=F \end{gathered}$$

这样一来就得到了以下方程：

$$\left[\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1^{\prime }\\ u_2^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ F\end{array}\right]$$

设

$$W=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|$$

利用克拉默法则求解，则有：

$$u_1^{\prime }=\frac{-y_{2}F}{W},u_2^{\prime }=\frac{y_{1}F}{W}$$

对 $u_1^{\prime },u_2^{\prime }$ 积分即可得到 $u_1,u_2$ ，代入后，即可得到非齐次线性方程的通解。

2. 题型

• 判断函数是否线性无关
• 给出高阶线性微分方程的特解，求通解
• 验证通解（利用所谓高阶微分方程解的结构的理论来验证）
• 猜出并验证高阶微分方程的特解，验证其线性无关，进而得到其通解
• 给出非齐次线性方程对应的齐次线性方程的通解，求解非齐次线性方程的通解（可用常数变易法）

五、常系数齐次线性微分方程

考纲摘要：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程

1. 二阶常系数齐次线性微分方程的求解

二阶常系数齐次线性微分方程的基本形式：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 很容易求解，只需遵循以下步骤即可：

• 求解其特征方程 $r^2+pr+q=0$，得到两个根 $r_1,r_2$
• 按照 $\mathrm{\Delta }=p^2-4q$ 判别式的情况，对照下表写出通解即可

条件	通解
$\mathrm{\Delta }>0$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$\mathrm{\Delta }=0$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
$\mathrm{\Delta }<0$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

其中，如果 $r_1,r_2$ 是两个复根，也就是 $\mathrm{\Delta }<0$ 且 $r_1=\alpha +\beta i,r_2=\alpha -\beta i$，其虚数表示中的 $\alpha ,\beta$，就是通解里的参数

2. 二阶以上的常系数齐次线性微分方程的求解

其基本形式：$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$

其特征方程为：$r^n+p_1{r}^{n-1}+\cdots +p_{n-1}r+p_n=0$ 这是一个关于 $r$ 的 $n$ 次方程

特征方程的根	对应项数	微分方程通解中的对应项
单实根 $r$	1	$C^{rx}$
一对单复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$	2	$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
$k$ 重实根 $r$	k	$e^{rx}(\sum _{i=1}^k{C}_i{x}^{i-1})$
一对 $k$ 重 复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$	2k	$e^{\alpha x}[(\sum _{i=1}^k{C}_i{x}^{i-1})\cos \beta x+(\sum _{i=1}^k{D}_i{x}^{i-1})\sin \beta x]$

六、常系数非齐次线性微分方程

考纲摘要：会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们 y 的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

要解这个方程，只需要求出 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的通解 $Y(x)$ 及方程本身的特解 $y^{\ast }(x)$ 即可而求解 Y (x) 的方法在上一节已经充分讨论，在这里只需关注 $y^{\ast }(x)$ 的求解。求解 $y^{\ast }$ 的一种方法是待定系数法，利用这种方法，不需要进行不定积分也可求解出该特解。

1. $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$ 型

这里 $P_m(x)$ 指的是一个关于 $x$ 的多项式，也就是：

$$P_m(x)=a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_{m-1}x+a_m$$

首先，推测 $y^{\ast }=R(x)e^{\lambda x}$ 是该方程的特解的形式，其中 $R(x)$ 是一个多项式。进一步有：

$$\begin{gathered} y^{\ast }=R(x)e^{\lambda x} \\ {y^{\ast }}^{\prime }=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+R^{\prime }(x)] \\ {y^{\ast }}^{″}=e^{\lambda x}[{\lambda }^{2}R(x)+2\lambda R^{\prime }(x)+R^{″}(x)] \end{gathered}$$

将它们代入原方程，左右约去 $e^{\lambda x}$，则有：

$$R^{″}(x)+(2\lambda +p)R^{\prime }(x)+({\lambda }^2+p\lambda +q)R(x)=P_m(x)$$

• 如果 ${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$，则只需令 $R(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m$，代入方程后，联立关于 $b_0,\cdots ,b_m$ 与 $a_0,\cdots ,a_m$ 的线性方程组进行求解即可

• 如果 $\lambda$ 是 $r^2+pr+q=0$ 的单根，则 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0,2\lambda +p\ne 0$ 则只需令 $R(x)=x{R}_m(x)$，列线性方程组进行求解即可（R'(x) 必须是 $m$ 次多项式）

• 如果 $\lambda$ 是 $r^2+pr+q=0$ 的重根，则 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0,2\lambda +p=0$ 则只需令 $R(x)=x^2{R}_m(x)$，列线性方程组进行求解即可（R''(x) 必须是 $m$ 次多项式）

2. $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$ 型

首先可以利用欧拉公式将 $f(x)$ 表示成复变指数函数的形式：

$$\begin{gathered} f(x)=e^{\lambda x}[P_l\cos \omega x+Q_n\sin \omega x]= \\ {e}^{\lambda x}[P_l\frac{e^{\omega xi}+e^{-\omega xi}}{2}+Q_n\frac{e^{\omega xi}-e^{-\omega xi}}{2i}]= \\ (\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2i})e^{(\lambda +\omega i)x}+(\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2i})e^{(\lambda -\omega i)x}= \\ P(x)e^{(\lambda +\omega i)x}+\bar{P}(x)e^{(\lambda -\omega i)x} \end{gathered}$$

其中，$P(x),\bar{P}(x)$ 是共轭的 $m$ 次多项式，$m=max\{l,n\}$：

$$\begin{gathered} P(x)=\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2i}=\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2}i \\ \bar{P}(x)=\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2i}=\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2}i \end{gathered}$$

利用求解 $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$ 的方法求解

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=P(x)e^{(\lambda +\omega i)x}$$

得到 $y_1^{\ast }=x^k{R}_m{e}^{(\lambda +\omega i)x}$，而 $y_2^{\ast }=x^k{\bar{R}}_m{e}^{(\lambda -\omega i)x}$ 则是

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=\bar{P}(x)e^{(\lambda -\omega i)x}$$

的特解。其中，$R_m,{\bar{R}}_m$ 是共轭的多项式。$y_1^{\ast },y_2^{\ast }$ 是共轭的，因此它们相加后无虚部且为原方程的特解，因此：

$$\begin{gathered} y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m{e}^{\omega xi}+{\bar{R}}_m{e}^{-\omega xi}]= \\ {x}^k{e}^{\lambda x}[R_m(\cos \omega x+i\sin \omega x)+{\bar{R}}_m(\cos \omega x-i\sin \omega x)]= \\ {x}^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x] \end{gathered}$$

$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]$，这就是特解可设为的形式。

其中，$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次多项式，$m=max\{l,n\}$，$k$ 的取值：

• 如果 $\lambda +\omega i$ 不是特征方程的根，则 $k=0$
• 如果 $\lambda +\omega i$ 是特征方程的单根，则 $k=1$

七、欧拉方程

考纲摘要：会解欧拉方程

欧拉方程的一般形式：

$$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$$

做变换 $x=e^t,t=\ln x$，则有：

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{1}{x^2}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}) \\ \frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}=\frac{1}{x^3}(\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{t}^3}-3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}) \end{gathered}$$

一般地，有：

$$x^k{y}^k=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-1)\cdots (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-k+1)y$$

将其代入欧拉方程，即可得到一个以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程，然后进一步求解即可。

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八、微分方程的简单应用

利用微分方程解决实际问题，核心在于建立模型。

1. 几何应用

利用导数的几何意义（切线斜率 y'）列方程。例如：求一条曲线，使其切线在 $x$ 轴上的截距等于切点横坐标的两倍。

2. 物理应用

1. 牛顿第二定律：$F=ma=m\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}$。常用于变力做功、物体运动分析。
2. 牛顿冷却定律：物体温度的变化率与物体温度与环境温度之差成正比。

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-T_s)$$

3. 放射性元素衰变/人口增长：变化率与现存量成正比。

$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=kN$$