04 一元函数积分学

积分学是微分学的逆运算与其在几何、物理上的应用。考研中积分学包含庞大的计算量，对等式及不等式的放缩与估计也是难点。

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一、 不定积分与定积分概念

1.1 不定积分与原函数

• 如果 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。不定积分是所有原函数的集合：$\int f(x)dx=F(x)+C$。

• 可积不一定有原函数：如果函数 $f(x)$ 有第一类间断点，它可以在该区间上黎曼可积，但它一定没有原函数（因为导函数不能有第一类间断点，由达布定理可知）。

• 连续函数必有原函数，也必可积。

1.2 定积分及其性质

定积分是黎曼和的极限，代表面积的代数和。

• 几何意义：位于 $x$ 轴上方的面积为正，下方的面积为负。

• 三大运算性质：线性性、区间可加性、保号性。

• 积分绝对值不等式（极其重要）：

  $$|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

• 定积分第一中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 不变号且可积，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$。（若 $g(x)=1$ 即为基础定积分中值定理）。

• 定积分第二中值定理 (估值神技)：若 $f(x)$ 可积，$g(x)$ 单调，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得：

  ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$。

1.3 积分学三大神仙不等式

1. 柯西-施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 积分不等式：

   $${({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

   常用于证明包含乘积形式的积分不等式。

2. 詹森 (Jensen) 不等式：若 $\varphi (x)$ 为凸函数（如 $x^2,e^x$），则对平均值的凸函数 $\le$ 凸函数的平均值：

   $$\varphi (\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^b\varphi (f(x))dx$$

3. 哈达玛 (Hadamard) 不等式：若 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的凸函数，则有完美的不等式链：

   $$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}$$

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二、 积分计算技法与规律

2.1 两大换元法与分部积分法

• 第一类换元法（凑微分法）：$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$。（常见突破口：遇到 $e^x,\frac{1}{x},\sin x,\cos x$ 且外边有对应导数项可直接套入）。

• 五大第二类换元法：常用于处理带根号或超越函数的式子。

  1. 三角换元：$x=a\sin t,x=a\tan t,x=a\sec t$。

  2. 根式换元：$t=\sqrt[n]{ax+b}$ 或形如 $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$。

  3. 倒代换：处理分母次数比分子高出两阶或以上的代数式，令 $x=\frac{1}{t}$。

  4. 万能换元：用于解决一切三角有理式 $\int R(\sin x,\cos x)dx$。令 $t=\tan \frac{x}{2}$ 或 $t=\tan x$。

  5. 欧拉换元（偏门大杀器）：针对 $\int \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$。一般直接令 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$ ($a>0$) 以消去二次方项。

• 分部积分法：

  $$\int udv=uv-\int vdu$$

  优先设 $v^{\prime }$ 即容易积分的项，核心宗旨是“改变后续被积函数的阶数”。次序口诀（反对幂指三）：反三角函数 $>$ 对数函数 $>$ 幂函数 $>$ 指数函数 $>$ 三角函数。（排在前面的作为 $u$，求导变简单；排在后面的作为 $v^{\prime }$ 去积分）。

  • 遇到 $e^{ax}\sin bx$ 形式需多次分部构造循环方程；遇到 ${\sec }^{3}x$ 注意 $\int \sec xd\tan x$ 的递推。

  实战外挂：分部积分的“表格法”

  当面对形如 $\int P_n(x)e^{ax}dx,\int P_n(x)\sin (ax)dx$ 时（其中 $P_n$ 为 $n$ 次多项式），使用普通分部积分极其容易抄错正负号。此时可采用表格法：

  1. 列出两列：左边写求导项（多项式），右边写积分项（指数/三角）。

  2. 左侧逐次向下求导，直到出现 $0$ 停止；右侧对应逐次向下积分。

  3. 画出从左边项斜向右下方的箭头（即交叉相乘），赋予正负交替的符号 $+,-,+,-,\dots$。

  4. 所有交叉乘积的代数和即为最终的积分结果！

2.2 有理函数积分与假分式分解

• 真分式化简：将有理分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 分解为多个简单分式之和。

  1. 配方法结合凑微分：分离出一次项进微分，剩下纯二次多项式配方成 $\arctan x$ 或 $\ln$。

  2. 待定系数拆分法：对分母有重根的 $(x-a{)}^n$ 需要逐阶拆分为 $\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a{)}^2}+\dots$；面对难拆分子可利用赋值法（极值点）快速求得局部待定系数。

• 假分式先做多项式除法（多项式长除法），转化为多项式加真分式，然后再进行上述真分式的剥离。

2.3 特殊技巧：点火公式与区间再现

• 对称区间上的奇偶性：

  ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$ ($f(x)$为奇函数)

  ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$ ($f(x)$为偶函数)

• 华里士公式 (Wallis Formula / 点火公式)：

  这是处理三角函数高次幂在定积分上最重要的方法：

  $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为正偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1,& n\text{为大于1的奇数}\end{array}$$

  提示：不要忘记偶数次方最后一定要乘以 $\frac{\pi }{2}$！遇 ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}x$ 可以直接利用图形对称翻倍。

• 区间再现公式（华丽的技巧，常用于分母和上下限具有对称性的题目）：

  $${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}[{\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}f(a+b-x)dx]$$

  或者： $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx $$

  • 最经典的派生变式（去 $x$ 因子法）：${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$，然后往往紧接着就会使用“点火公式”！

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三、 变限积分函数求导

变限积分 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 将定积分扩展为函数。它是连接导数与定积分的桥梁（牛顿-莱布尼茨公式的基础）。

3.1 标准变限积分求导法则

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt=f(\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)$$

3.2 带 $x$ 的变限积分求导易错点

当被积函数同时包含积分变量 $t$ 和自变量 $x$ 时，在求导之前，必须先将 $x$ 提炼出积分号外！

• 若为 $f(x,t)$ 形式：提取 $x$ 或者通过换元将 $x$ 置换到积分上下限。

• 若为 ${\int }_0^{x}f(x-t)dt$：令 $u=x-t$，则 $du=-dt$，得到 ${\int }_0^{x}f(u)du$，然后可以直接求导。

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四、 反常积分及其敛散性判定

积分区间无界或被积函数无界（存在瑕点）。

4.1 两种反常积分定义

1. 无穷限反常积分：${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx$。

2. 无界函数（瑕点）积分：若在 $b$ 处无界（$b$ 为瑕点）：${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx$。

注意：如果被积函数有内部瑕点，必须利用瑕点将区间分成两部分，分别判断敛散性，不能一概而论。

4.2 敛散性比较判别法与 $p$-级数标尺

对于正项函数，常利用已知敛散性的形态（如 $1/x^p$）通过求极限进行比较判敛：

• 无穷区域的 $p$ 积分标尺（${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx$，$a>0$）：

  当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。（无穷远要求衰减快）。

  • 判定步骤：计算 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{q}f(x)=l$。若 $l\ne 0,\mathrm{\infty }$，则当选取的 $q>1$ 且极限存在时，原积分收敛。

• 瑕点区域的 $p$ 积分标尺（${\int }_0^a\frac{1}{x^q}dx$，$a>0$）：

  当 $q<1$ 时收敛，当 $q\ge 1$ 时发散。（瑕点附近要求发散慢）。

  • 判定步骤：计算 $\underset{x\to x_0}{lim}(x-x_0{)}^{p}f(x)=l$。若判定收敛，需寻找 $p<1$ 使得该极限存在。

推论：当面对混合问题如 ${\int }_0^1{x}^{\alpha }\ln xdx$ ，利用 $\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\epsilon }\ln x=0$ 构造微量偏置，去与幂函数作商判断参数范围。

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五、 定积分的几何与物理应用

核心思想：微元法。找出 $\mathrm{\Delta }y$ 的线性主部作为 $dy$。

5.1 平面图形面积

• 直角坐标系：$S={\int }_a^b|f_1(x)-f_2(x)|dx$

• 极坐标系：$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$

5.2 旋转体体积与面积

• 绕 $x$ 轴旋转的体积（圆盘法）： $V_x=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

• 绕 $y$ 轴旋转的体积（柱壳法公式，极重要）： $V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|f(x)|dx$

• 旋转体侧面积： $S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

5.3 曲线弧长

（前文已述） $s=\int ds={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$

5.4 物理应用

• 变力做功：$W={\int }_a^{b}F(x)dx$ （例如弹簧拉力、抽水做功、万有引力作功）。

• 液体压力：垂直面受到流体压力，在深度 $h$ 处的微压力 $dP=\rho gh(x)L(x)dx$，对高度进行积分。

• 质心与形心中心：一维形心坐标 $\overline{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$，等。