高等数学·3 一元函数积分学

考纲内容

• 原函数和不定积分的概念
  • 不定积分的基本性质
  • 基本积分公式
• 定积分的概念和基本性质
  • 定积分中值定理
  • 积分上限的函数及其导数
  • 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式
• 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
  • 有理函数、三角函数的有理式积分
  • 简单无理函数的积分反常（广义）积分
• 定积分的应用

一、不定积分的概念与性质

考纲摘要：理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念

1. 定义

• 如果在区间 $I $ 上，可导函数 F (x) 的导函数为 f (x)，那么对于任一 $ x\in I$，都有：

  $F^{\prime }(x)=f(x)$，或者 $\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$

  那么函数 F (x) 称为 f (x) 在区间 $I$ 上的一个原函数

• 在区间 $I $ 上，函数 f (x) 的带有任一常数项的原函数称为 f (x)（或者 $ f (x)\mathrm dx $ ）在区间 $ I$\mathrm{上}\mathrm{的}\ast \ast \mathrm{不}\mathrm{定}\mathrm{积}\mathrm{分}\ast \ast ，\mathrm{记}\mathrm{作}$\int f (x)\mathrm dx$，其中：

  • $\int$ 被称为积分号
  • f (x) 被称为被积函数
  • $f(x)\mathrm{d}x$被称为被积表达式
  • $x$ 称为积分变量。

• 积分曲线：函数 f (x)的原函数的图像称为 f (x) 的积分曲线

2. 定理与性质

考纲摘要：掌握不定积分和定积分的性质

• 原函数存在定理：如果函数 f (x) 在区间 $I $ 上连续，那么在区间 $ I$ 上存在可导函数 F (x) ，使得对于任一 $x\in I $，\mathrm{都}\mathrm{有}：$ F'(x) = f (x)$

  即：连续函数一定都有原函数

• $d[\int f(x)\mathrm{d}x]=f(x)\mathrm{d}x$， $\int \mathrm{d}F(x)=F(x)+C$，也就是说，积分符号 $\int$ 与微分符号 $\mathrm{d}$ 是互逆的运算，当 $\int$ 与 $\mathrm{d}$ 连在一起时即可抵消

3. 不定积分计算公式

考纲摘要：掌握不定积分的基本公式

1. 一般函数的不定积分

$$\begin{array}{rl}& \int k\mathrm{d}x=kx+C\\ & \int x^u\mathrm{d}x=\frac{1}{u+1}{x}^{u+1}+C(u\ne -1)\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln |x|+C\\ & \int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\\ & \int a^x\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C\end{array}$$

2. 三角函数类

$$\begin{array}{rl}& \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\\ & \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ & \int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C\\ & \int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C\\ & \int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C\\ & \int \csc x\mathrm{d}x=-\ln |\csc x+\cot x|+C\\ & \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\\ & \int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\\ & \int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\\ & \int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\end{array}$$

3. 反三角函数类

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\end{array}$$

4. 双曲函数类

$$\begin{array}{rl}& \int \mathrm{sh}x·\mathrm{d}x=\mathrm{ch}x+C\\ & \int \mathrm{ch}x·\mathrm{d}x=\mathrm{sh}x+C\end{array}$$

5. 其他

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\end{array}$$

二、不定积分的积分方法

考纲摘要：掌握换元积分法与分部积分法

1. 换元积分法

1. 第一类换元法：凑微分法

假设：$\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C，u=\varphi (x)$

则：

$$\begin{gathered} \int f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x= \\ \int f[\varphi (x)]\mathrm{d}\varphi (x)= \\ \int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=F[\varphi (x)]+C \end{gathered}$$

一步到位地：

$$\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u$$

利用凑微分法求不定积分的关键是凑出中间变量的微分式。

常见的使用凑微分法类型

$$\begin{array}{rl}& \int f(ax+b)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\int f(ax+b)\mathrm{d}(ax+b)\\ & \int f(x^n)x^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\int f(x^n)\mathrm{d}{x}^n\\ & \int \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int f(\sqrt{x})\mathrm{d}\sqrt{x}\\ & \int f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\int f(\frac{1}{x})\mathrm{d}(\frac{1}{x})\\ & \int \frac{f(\ln x)}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}lnx\\ & \int f(e^x)e^x\mathrm{d}x=\int f(e^x)\mathrm{d}{e}^x\\ & \int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}\sin x\\ & \int f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-\int f(\cos x)\mathrm{d}\cos x\\ & \int \frac{f(\arctan x)}{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}\arctan x\\ & \int \frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}\arcsin x\\ & \int \frac{f(\tan x)}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x){\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}\tan x\\ & \int \frac{f(\cot x)}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=\int f(\cot x){\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\int f(\cot x)\mathrm{d}\cot x\end{array}$$

2. 第二类换元法

假设 $x=\varphi (t)$，$\varphi (t)$ 单调可导，且 $\phi'(t) \ne 0 $，其反函数为 $ t = \phi^{-1}(x)$，\mathrm{再}\mathrm{设}$f[\phi (t)]\phi'(t)$ 具有原函数 G (t) ，那么：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=G(t)+C=G({\varphi }^{-1}(x))+C$$

易错点

• 被积函数中含有根式而不能凑微分时，可以考虑第二类换元法将函数有理化。

(1) 三角代换

• $\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin t$
• $\sqrt{a^2+x^2}\to x=a\tan t$
• $\sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec t$

(2) 倒代换

$$x=\frac{1}{t}$$

(3) 根式代换

$$t=\sqrt[n]{ax+b}$$

---

2. 分部积分法

分部积分公式：

$$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$$

分部积分法的关键是选取合适的 $u$ 和 $\mathrm{d}v$，而选取时一般要考虑以下因素：

1. $v$ 要容易求出（也就是说，$\int v^{\prime }\mathrm{d}x$ 容易算）
2. $\int v\mathrm{d}u$ 要比 $\int u\mathrm{d}v$ 容易积

2. 技巧：表格法 (快速分部积分)

适用于 $\int P_n (x) \cdot f (x) \mathrm{d}x $ 类型，其中 $ P_n (x)$ 为多项式，f (x) 为 $e^{ax},\sin ax,\cos ax$ 等。 步骤：

1. 建立两列：第一列写 $u$ (多项式)，第二列写 v' (易积函数)。
2. 第一列逐次求导直到为 0。
3. 第二列逐次积分。
4. 错位相乘（第一行 $u $ 乘第二行 $ v$），\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{正}\mathrm{负}\mathrm{交}\mathrm{替}($+ - + - \dots$)。

示例：$\int x^2 e^x \mathrm{d}x $ | $ u$ 及导数 | v' 及积分 | 符号 | 乘积项 | | :--- | :--- | :---: | :--- | | $x^2 $ | $ e^x $ | | | | $ 2x $ | $ e^x$ | $+$ | $+x^2 e^x $ | | $ 2$ | $e^x$ | $-$ | $-2x e^x $ | | $ 0$ | $e^x$ | $+$ | $+2e^x$ | 结果为：$(x^2-2x+2)e^x+C$

3. 有理函数的积分

将两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 定义为有理函数，而看到一个有理函数后，我们可以对其进行化简，使得分子和分母不具有公因式，此外也可以将其变换为 $T(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的形式，使得 Q (x) 的次数大于 P (x) 的次数，而 T (x) 本身也是一个多项式。进行这样的化简后，我们得到的 P (x)/Q (x) 就被称作是真分式

再重复一遍真分式的特征：

1. 分子与分母不具有公因式
2. 分母的次数大于分子

显然，对于一个有理函数的的积分，最困难的部分就是解决真分式的积分。

对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，如果分母可以分解为两个多项式的乘积 $Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)$，且 $Q_1(x),Q_2(x)$ 不含有公因式，则这个真分式可以拆分成两个真分式之和：

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$$

然后对于每一个子分式，又可以继续分解。最终，一个有理函数可以被拆解为若干个多项式、$P(x)/(x-a{)}^k$、$P(x)/(x^2+px+q{)}^k$ 相加减的形式，这样一来对这个有理函数的积分就变得较为简单了。

在进行不定积分时，可以通过换元等方式将原本的不定积分式变换成对有理函数的积分式，从而能够更容易地求出不定积分。

1. 拆分原则 (待定系数法)

对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，拆分规则如下：

1. 一次单因式：若分母含有 $(x-a)$，产生一项 $\frac{A}{x-a}$。
2. 重因式：若分母含有 $(x-a)^k $，产生 $ k$ 项 $\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a{)}^k}$。
3. 二次不可约因式：若分母含有 $(x^2+px+q)$，产生一项 $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$。

2. 快速求系数：留数法 (Heaviside Cover-up)

对于含有单因式的分式，如 $\frac{P (x)}{(x-a)Q_1 (x)} = \frac{A}{x-a} + \dots $，系数 $ A$ 可以通过以下方式快速求得：

$$A=\underset{x\to a}{lim}(x-a)\frac{P(x)}{Q(x)}$$

即在原式中遮住 $(x-a)$ 项，将 $x=a$ 代入剩余部分。

三、定积分的定义

考纲摘要：理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念

常见题型：

• 根据定积分的几何意义来求定积分（特殊的函数积分可以考虑画图观察）
• 利用定积分的定义来求极限（往往是写成求和公式的极限的求解）
• 利用定积分的性质来证明不等式

设函数 f (x) 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点：

$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$

把区间 $[a,b]$ 分为了 $n$ 个小区间：

$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-1},x_n]$

各个小区间的长度依次为：

$\mathrm{\Delta }{x}_1=x_1-x_0,\mathrm{\Delta }{x}_2=x_2-x_1,\dots ,\mathrm{\Delta }{x}_n=x_n-x_{x-1}$

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$上任取一点 ${\xi }_i,{\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$，做函数值 $f({\xi }_i)$ 与小区间长度 $\Delta x_i $ 的乘积 $ f (\xi_i)\Delta x_i$ 并求和：

$$S=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

记 $\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{x}_n\}$，如果 $\lambda\to0 $ 时的极限 $ I$ 总存在，且与闭区间 $[a,b]$ 的分法及 $\xi_i $ 的取法无关，那么称这个极限 $ I$ 是函数 f (x) 在区间 $[a,b]$ 上的定积分（简称积分），记作：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

也就是：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=I=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

• 其中 f (x) 被称为被积函数
• $f(x)\mathrm{d}x$称为被积表达式
• $x$ 叫做积分变量
• $a$ 叫做积分下限
• $b$ 叫做积分上限
• $[a,b]$ 叫做积分区间

四、定积分的性质

考纲摘要：掌握不定积分和定积分的性质

1. 可积的判断条件

可积：f (x) 在 $[a,b]$上的定积分存在，就称 f (x) 在 $[a,b]$ 上可积

• 设 f (x) 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 f (x) 在 $[a,b]$ 上可积
• 设 f (x) 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在 $[a,b]$ 上可积

2. 积分上下限的特殊情景

• ${\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$

• ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$

3. 定积分的可加性

$${\int }_a^b[af(x)+bg(x)]\mathrm{d}x=a{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+b{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

4. 定积分的区间可加性

（不需要规定 $a<c<b$）

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

也就是说，定积分对于积分区间具有可加性

5. 定积分的保号性

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f (x)\ge 0 $ ，那么： f (x) 在这个区间上的定积分 $ I\ge 0$

• 推论：如果在区间 $[a,b]$ 上， $f(x)\le g(x)$，那么 f (x) 在这个区间上的定积分小于 g (x) 在这个区间上的积分

• 绝对值不等式

  $$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$$

6. 定积分的估值定理

设 $M $ 及 $ m$ 分别是函数 f (x) 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，那么有：

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)$$

7. 定积分中值定理

考纲摘要：掌握定积分中值定理

如果函数 f (x) 在积分区间 $[a,b]$ 上连续，那么在 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\xi$：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$$

与拉格朗日中值定理进行比较：

如果 f(x) 满足：

• 在 $[a,b]$ 上连续
• 在 $(a,b)$ 上可导

则：$\mathrm{\exists }\epsilon \in (a,b),(a-b)f^{\prime }(\epsilon )=f(a)-f(b)$

8. 积分上限的函数及其导数

理解积分上限的函数，会求它的导数

直接通过一个例题来理解，计算：

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}{\int }_x^{2x}t{e}^{-(x-t{)}^2}\mathrm{d}t\stackrel{k=t-x}{=}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}{\int }_0^x(x+k)e^{-k^2}\mathrm{d}(x+k)=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}{\int }_0^{x}k{e}^{-k^2}\mathrm{d}k+\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}x{\int }_0^x{e}^{-k^2}\mathrm{d}k= \\ \frac{\mathrm{d}(x{e}^{-x^2})}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x{e}^{-k^2}\mathrm{d}k+\frac{\mathrm{d}(x{e}^{-x^2})}{\mathrm{d}x}=2\frac{\mathrm{d}(x{e}^{-x^2})}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x{e}^{-k^2}\mathrm{d}k= \\ 2(e^{-x^2}-2x^2{e}^{-x^2})+e^{-x^2}=3e^{-x^2}-4x^2{e}^{-x^2} \end{gathered}$$

可见，这样的题的处理技巧就是将要求导的变量分离出被积函数，而这就是求导的关键步骤： $\mathrm{d}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)\mathrm{d}x$

五、定积分的计算方法

考纲摘要：

1. 掌握换元积分法与分部积分法
2. 掌握牛顿-莱布尼茨公式

1. 牛顿-莱布尼茨公式

定理：对于积分上限的函数

假设函数 f (t) 在 $[a,b]$ 上连续，并且 $x\in [a,b]$ ，那么，这个式子被称为积分上限的函数 $\int_{a}^{x}f (t)\mathrm{d}t $ 其导数为：f (x)，我们可以写成 $ F'(x)=f (x)$

由此，我们推导出牛顿-莱布尼茨公式：

如果函数 F (x) 是连续函数 f (x) 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数，那么有：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

2. 定积分的换元法

设函数 f (x) 在 $[a,b]$ 上连续，若变换 $x=\varphi (t)$ 满足以下条件：

• ${\varphi }^{\prime }(t)$ 在$[\alpha ,\beta ]$ 或者 $[\beta ,\alpha ]$ 上连续，且 ${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$
• $\varphi (\alpha )=a$，$\phi (\beta)=b $，且当 $ t$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 或者 $[\beta ,\alpha ]$ 上变化时，$\varphi (t)$ 的值在 $[a,b]$ 上变化，则：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}x$$

技巧：

• 三换：一换积分变量，二换被积函数，三换积分上下限
• 不必要求 $x=\varphi (t)$ 单调或者具有反函数
• $x=\varphi (t)$ 的值不能超过积分区间 $[a,b]$ 的范围
• 新的积分下限 $\alpha$ 和上限 $\beta $ 是对应于原积分下限 $ a$ 和上限 $b$ 的值
• 求出关于 $t $ 的原函数以后，不必回到以 $ x$ 为自变量的函数，直接代入 $\beta$ 和 $\alpha$ 到原函数中求增量即可。

3. 奇偶函数

• 如果 f (x) 是奇函数，那么 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是偶函数
• 如果 f (x) 是偶函数，那么 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是奇函数

如果被积函数是奇函数或偶函数，则有：

$${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)\mathrm{是}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x,& f(x)\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$$

这是一个相当常用的性质。

4. 周期函数

设 f (x) 是以 $T $ 为周期的周期函数，那么 $ F (x)=\int_0^xf (t)\mathrm{d}x $ 是以 $ T$ 为周期的周期函数的充要条件是 $F(T)=0$

设 f (x) 是以 $T$ 为周期的周期函数，那么：

$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x$$

周期奇函数在一个周期长的区间上的定积分为 $0$

设 f (x) 是以 $T$ 为周期的周期函数，那么：

$${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x,n\in N^{\ast }$$

5. 定积分的分部积分法

假设 u (x) 和 v (x) 在 $[a,b]$ 上具有连续导函数 u'(x) 和 v'(x), 那么有分部积分公式：

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

技巧：

• 当被积分函数是两个函数相乘时，常用分部积分法，主要是恰当选择 $u $ 和 $ v$
• 分部积分法的难点是 u (x) 和 $\mathrm{d}v(x)$ 的选取，一般遵循两个原则：
  • 从 $\mathrm{d}v(x)$ 中易求出 v (x)
  • 使 v (x)u'(x) 比 u (x)v'(x) 的原函数/定积分更容易求。

6. 常用定积分技巧总结

$$\begin{array}{rl}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(a+b-x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{a}f(a-x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ & {\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]\mathrm{d}x\\ & {\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)\mathrm{是}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x,& f(x)\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}\end{array}$$

如果曲线 $y=f(x)$ 关于 直线 $x=(a+b)/2$ 对称，那么：

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)\mathrm{d}x \\ {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x=\frac{a+b}{2}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x \end{gathered}$$

若 f (x) 为偶函数，且 $g(x)+g(-x)\equiv A$，则有：

$${\int }_{-a}^{a}g(x)f(x)\mathrm{d}x=A{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$$

设 f (x) 是以 $T$ 为周期的连续函数，那么：

$${\int }_a^{a+nT}f(x)\mathrm{d}x=n{\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x$$

三角函数类

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x,\sin x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\tan x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cot x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_0^{2\pi }f(\cos x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\pi }f(\cos x)\mathrm{d}x\\ & {\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x\\ & \text{点火公式 (Wallis公式):}\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=I_n\\ & I_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 为正偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1& n\text{ 为大于1的正奇数}\end{array}\end{array}$$

六、反常积分

1. 反常积分的基本定义

考纲摘要：理解反常积分的概念、会计算反常积分

1. 无穷限的反常积分

定义式：

$$\begin{gathered} {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)\mathrm{d}x \end{gathered}$$

要求反常积分在它们的积分限上是连续的，它们均被定义成极限，如果这个极限存在，则称之为收敛，否则称之为发散

2. 无界函数的反常积分

瑕点：根据课本上的定义，如果函数 f (x) 在点 $a $ 的任意邻域内都无界，则称 $ a$ 为 f (x) 的瑕点。那么，我认为 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$

设 $a$ 是 f (x) 的瑕点，那么无界函数的反常积分：

f (x) 在 $(a,b]$ 上的反常积分：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

在 $[b,a)$ 上的反常积分：

$${\int }_b^a=\underset{t\to a^{-}}{lim}{\int }_b^{t}f(x)\mathrm{d}x$$

假设 f (x) 在 $[a,c),(c,b]$ 上是连续的，且 $c$ 是 f (x) 的瑕点，则：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to c^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x+\underset{t\to c+}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

也就是说，如果积分的区间包含瑕点，那么也是反常积分。

对于以上反常积分，如果极限存在，则称之为收敛，否则称之为发散

2. 审敛法：无穷限反常积分

考纲摘要：了解反常积分收敛的比较判别法

基本定理：设函数 f (x) 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且 $f(x)\ge 0$，若函数：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上有上界，则反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛

1. 比较审敛原理

设函数 f (x),g (x) 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，则：

• 如果 $0\le f(x)\le g(x)$，并且 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
• 如果 $0\le g(x)\le f(x)$，并且 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 发散

2. 比较审敛法

设函数 f (x) 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且 $f(x)\ge 0$

• 如果存在常数 $M>0 $ 及 $ p>1 $，使得 $ f (x)\le \frac M{x^p}(a\le x<+\infty)$，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}$\int_a^{+\infty}f (x)\mathrm dx$ 收敛
• 如果存在常数 $N>0 $ ，使得 $ f (x)\ge \frac Nx (a\le x<+\infty)$，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}$\int_a^{+\infty}f (x)\mathrm dx$ 发散

3. 极限审敛法

设函数函数 f (x) 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且 $f(x)\ge 0$

• 如果存在常数 $p>1$，使得 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)=c<+\mathrm{\infty }$，那么，反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
• 如果 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}xf(x)=\{d>0,+\mathrm{\infty }\}$，那么，反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 发散

4. 绝对值审敛

设函数 f (x) 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，如果反常积分

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}|f(x)|\mathrm{d}x$$

收敛，那么反常积分

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$$

也收敛

3. 审敛法：无界函数的反常积分

考纲摘要：了解反常积分收敛的比较判别法

1. 比较审敛法

设函数 f (x) 在区间 $(a,b]$ 上连续，且 $f (x)\ge0,x=a $ 为 f (x) 的瑕点，如果存在常数 $ M>0,q<1$，使得

$$f(x)\le \frac{M}{(x-a{)}^a},(a<x\le b)$$

那么反常积分 $\int_a^bf (x)\mathrm dx $ 收敛；如果存在常数 $ N>0$，使得

$$f(x)\ge \frac{N}{x-a},(a<x\le b)$$

那么反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散

2. 极限审敛法

设函数 f (x) 在区间 $(a,b]$ 上连续，且 $f (x)\ge 0,x=a $ 为 f (x) 的瑕点，如果存在常数 $ 0<q<1$，使得：

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}(x-a{)}^{q}f(x)$$

存在，那么反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，如果

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}(x-a)f(x)=d>0$$

存在，那么反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散

七、定积分的元素法

考纲摘要：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

我想，这部分知识将主要在以定积分的形式求解无穷数列求和的问题中使用利用定积分的元素法，可以将求和转变成求解定积分，从而方便求解。

假设 f (x) 在区间 $[a,b]$ 上连续且 $f (x) ≥ 0 $ ，求以曲线 $ y = f (x)$ 为曲边、底为 $[a,b]$ 的曲边梯形面积 $A $，那么这个面积 $ A$ 就表示成定积分：

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

其步骤为：

1. 用任意一组分点把区间 $[a,b]$ 分成长度为 $\mathrm{\Delta }{x}_i(i=1,2,...,n)$ 的 $n$ 个小区间，把曲边分成了 $n $ 个很窄的曲边梯形，把第 $ i$ 个曲边梯形的面积设为 $\mathrm{\Delta }{A}_i$，那么：

$$A=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{A}_i$$

2. **计算 $\mathrm{\Delta }{A}_i$ 的近似值：**这一步最关键

$$\mathrm{\Delta }{A}_i\approx f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\text{ (}{x}_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i\text{)}$$

3. 求和，得到 $A$ 的近似值：

$$A\approx \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

4. 求极限，设 $\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{x}_n\}$ 有：

$$A=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

面积元素：记作 $\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x$

那么：

$$A\approx \sum f(x)\mathrm{d}x$$

因此：

$$A=lim\sum f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

八、定积分在几何学上的应用

考纲摘要：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

1. 求平面图形的面积

1. 直角坐标情形

找合适的积分变量直接积分即可：$S={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

2. 极坐标情形

极坐标方程：

$\rho =\rho (\theta )$ ，一个点与坐标原点的连线，表示这个连线的长度与连线 关于正轴的角度的函数关系。

$\rho =\rho (\theta )$ 这个曲线与 $\theta =\alpha ,\theta =\beta$ 这两条射线围城的图形比较方便计算：

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}[\rho (\theta ){]}^2\mathrm{d}\theta$$

这里的面积元素是一个近似扇形，也就是：

$$\mathrm{d}S=\frac{1}{2}[\rho (\theta ){]}^2\mathrm{d}\theta$$

2. 体积

1. 旋转体的体积

对于旋转体，譬如说一个曲边梯形，或者一个直角坐标系里两个曲线围成的图形，可以选一个合适的积分变量x，那么这个积分变量在取得一个很小的增量 dx 的时候，在这个图形内截取的一小段就是一个近似长方形，这一小段旋转之后就是一个近似圆柱体或者近似空心圆筒，由此可以得到体积元素

(1) 沿 $x$ 轴旋转的

对于曲线 $y=f(x)$ ，倘若要求这个曲线与x = a, x = b围成的曲边梯形沿x轴旋转形成的立体的体积，那么体积元素就是：

$$\mathrm{d}V=\pi f^2(x)\mathrm{d}x$$

也就是说，

$$V={\int }_a^b\pi f^2(x)\mathrm{d}x$$

(2) 沿 $y$ 轴旋转的

对于曲线 $y=f(x)$ ，倘若要求这个曲线与 $x = a,x = b $ 围成的曲边梯形**沿 $ y$ 轴旋转**形成的立体的体积，那么体积元素就是：

那么体积元素是一个近似空心圆筒：

$$\mathrm{d}V=\pi (x+\mathrm{d}x{)}^{2}f(x)-\pi x^{2}f(x)=\pi f(x)(2x\mathrm{d}x-\mathrm{d}{x}^2)$$

去除高阶无穷小，就变成了：

$$\mathrm{d}x=2\pi xf(x)\mathrm{d}x$$

这就是说：

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$$

2. 平行截面的面积已知的立体的体积

取垂直于每一个平行截面的一条直线为轴，给一个正方向与原点，那么上面的点就可以当作积分变量 $x$。

假设对于每一个 $x$，它所在的那一个截面的面积是 S (x) ，那么体积元素就是：

$$\mathrm{d}V=S(x)dx$$

所以：

$$V={\int }_a^{b}S(x)\mathrm{d}x$$

3. 平面曲线的弧长

1. 参数方程/直角坐标的情形

对于以下参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$

取 $t$ 为积分变量，那么在 $[\alpha ,\beta ]$ 上的长度这样来求

首先求积分用的“元素”：

考虑 $[t,t+\mathrm{d}t]$ 这个区间，那么这个区间对应的两个点的坐标为：

$$\begin{gathered} (\phi (t),\psi (t)) \\ (\phi (t+\mathrm{d}t),\psi (t+\mathrm{d}t)) \end{gathered}$$

这是个很小的区间，尽管在这个区间内，曲线上对应的一小段仍然是曲线，不过它倒是近似直线了，就当成近似直线处理：

$$\mathrm{d}s=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{{\phi }^2(t)\mathrm{d}{t}^2+{\varphi }^2(t)\mathrm{d}{t}^2}=\sqrt{{\phi }^2(t)+{\varphi }^2(t)}\mathrm{d}t$$

于是：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\phi }^2(t)+{\varphi }^2(t)}\mathrm{d}t$$

那么，将其特殊化成一般直角坐标方程 $y=f(x)$ ，其弧长也方便求：

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+f^2(x)}\mathrm{d}x$$

2. 极坐标方程的情形

对于 $\rho =\rho (\theta )$ 给出的曲线，其中 $\rho (\theta )$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上具有连续倒数，则由直角坐标与极坐标的关系可得：

$$\{\begin{array}{l}x=x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta \\ y=y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta \end{array},(\alpha \le \theta \le \beta )$$

这是以极角 $\theta$ 为参数的曲线弧的参数方程，于是弧长元素为：

$$\mathrm{d}s=\sqrt{x^{\prime 2}(\theta )+y^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta =\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$$

从而所求弧长为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$$

九、定积分在物理学上的应用

考纲摘要：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

1. 变力沿直线所做的功

若力 F (x) 方向与运动方向一致，物体从 $x=a $ 移动到 $ x=b$，则功为：

$$W={\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x$$

• 压缩弹簧做功：由胡克定律 $F (x) = kx $，则 $ W = \int_{x_1}^{x_2} kx \mathrm{d}x$。
• 抽水做功：将容器中的水抽出。取深度 $x$ 处的水平截面面积为 A (x)，将厚度为 $\mathrm{d}x$ 的水层提升到顶部（路程为 $x$）所需的功元为 $\mathrm{d}W=\rho gA(x)x\mathrm{d}x$。$$W={\int }_0^h\rho gA(x)x\mathrm{d}x$$

2. 水压力

垂直浸没在液体中的平板（一侧）受到的压力。取深度 $x$ 处的宽度为 l (x)，则压力元为 $\mathrm{d}P=\rho gxl(x)\mathrm{d}x$。

$$P={\int }_a^b\rho gxl(x)\mathrm{d}x$$

3. 引力

质量为 $m_1$ 的质点与质量分布为 $\rho (x)$ 的细棒（位于 $[a,b]$）之间的引力：

$$F={\int }_a^b\frac{G{m}_1\rho (x)}{(x-x_0{)}^2}\mathrm{d}x$$

（其中 $x_0$ 为质点位置）

4. 质心与形心

对于平面薄板（均质，面密度 $\rho $ 为常数），其围成区域为 $ D$：

• 形心坐标 $(\overline{x},\overline{y})$：$$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\mathrm{d}\sigma }{A},\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\mathrm{d}\sigma }{A}$$

      其中 $A = \iint_D \mathrm{d}\sigma$ 为面积。
  

• 一元积分形式（由 $y=f(x)$ 围成）：$$\overline{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x},\overline{y}=\frac{{\int }_a^b\frac{1}{2}[f(x){]}^2\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$

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十、函数的平均值

若 f (x) 在 $[a,b]$ 上连续，则 f (x) 在 $[a,b]$ 上的平均值为：

$$\overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

注意：这与定积分中值定理 $f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 紧密相关。

十一、刷题补充

1. 柯西-施瓦茨不等式

资料参见：百度百科-柯西-施瓦茨不等式

我们主要关注柯西-施瓦茨不等式的积分形式。如下所示：

$$(\int f(x)g(x)\mathrm{d}x{)}^2\le \int f^2(x)\mathrm{d}x\int g^2(x)\mathrm{d}x$$

例题：

设 $f(a)=f(b)=0,{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x=1,f^{\prime }(x)\in C[a,b]$ (1) 求 ${\int }_a^{b}xf(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ (2) 证明：${\int }_a^b{f}^{\prime 2}(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b{x}^2{f}^2(x)\mathrm{d}x\ge \frac{1}{4}$

解：

(1) ${\int }_a^{b}xf(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}f(x)=\frac{1}{2}{\int }_a^{b}x\mathrm{d}{f}^2(x)=\frac{1}{2}[x{f}^2(x){|}_a^b-{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x]=-\frac{1}{2}$

(2) 根据 (1) 中求出的结论，直接套用柯西-施瓦茨不等式的积分形式即可证明。

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十二、重难点提示

极易丢分的陷阱

变限积分求导的上下限问题

• 上限为 $x^2 $ 时，求导需乘 $ 2x$；若积分内含 x-t，需先换元再求导。
• 例：${[{\int }_0^{x}f(x-t)dt]}^{\prime }$ 应先令 $u=x-t$，化为 ${\int }_0^{x}f(u)du$ 再求导得 f (x)。

广义积分的瑕点检查

• 使用 Newton-Leibniz 公式前，务必检查积分区间内是否存在瑕点。
• 典型错误：$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx $ 在 $ x=0$ 处无意义，直接套公式会得到负数。

坐标系转换时的 Jacobi 行列式

• 二重积分换极坐标时，被积函数后须乘 $r$：$\iint fdxdy=\iint f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdrd\theta$
• 三重积分换球面坐标时，须乘 $r^2\sin \phi$。

经典定理与速判思维

变限积分函数的周期性

若 f (x) 连续且以 $T $ 为周期，则变限积分 $ F (x)=\int_0^xf (t),dt $ 以 $ T$ 为周期的充要条件是：

$${\int }_0^{T}f(x)dx=0$$

常用于选择题判断原函数或变限积分是否仍为周期函数。

奇偶函数与原函数的关系

• 连续的奇函数，其所有原函数都是偶函数。
• 连续的偶函数的原函数中，有且仅有一个是奇函数，即 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$；加任意非零常数 $C$ 就破坏奇函数条件。