高等数学·6 多元函数积分学

考纲内容

• 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
• 两类曲线积分的概念、性质及计算
• 两类曲线积分的关系
• 格林（Green）公式
• 平面曲线积分与路径无关的条件
• 二元函数全微分的原函数
• 两类曲面积分的概念、性质及计算
• 两类曲面积分的关系
• 高斯（Gauss）公式
• 斯托克斯（Stokes）公式
• 散度、旋度的概念及计算
• 曲线积分和曲面积分的应用

一、重积分

1. 二重积分的概念与性质

考纲摘要：理解二重积分的概念

1. 二重积分的定义

考纲摘要：理解二重积分的概念

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将闭区域 $D$ 任意分为 $n$ 个小闭区域：$\mathrm{\Delta }{\sigma }_1,\mathrm{\Delta }{\sigma }_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{\sigma }_n$

其中 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，亦表示其面积。在其上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，做乘积并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$

如果当各个小闭区域的直径中最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和式的极限总存在，且与闭区域 $D$ 的分法及 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关那么称此时的极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$$

• $f(x,y)$ 叫做被积函数
• $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 叫做被积表达式
• $\mathrm{d}\sigma$ 叫做面积元素
• $x$ 和 $y$ 叫做积分变量
• $D$ 叫做积分区域
• $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 叫做积分和

如果 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 是矩形闭区域且边长为 $\mathrm{\Delta }{x}_i$ 和 $\mathrm{\Delta }{y}_i$，那么 $\mathrm{d}\sigma$ 也可以记作 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，二重积分就记作：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 叫做直角坐标系中的面积元素

2. 二重积分的性质

考纲摘要：了解重积分的性质

1. 二重积分常系数的处理

假设 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是常数，则有：

$$\underset{D}{\iint }[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}\sigma =\alpha \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\beta \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

2. 二重积分的可加性

如果闭区域 $D$ 可以被有限条曲线分为有限个部分闭区域，那么 $D$ 上的二重积分等于各闭区域上二重积分的和。例如：

假设 $D$ 可以分为两个闭区域 $D_1$ 和 $D_2$，则有：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

3. 高为 1 的平顶柱体的体积

$$\sigma =\underset{D}{\iint }1\cdot \mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma$$

4. 二重积分间的大小关系

如果在 $D$ 上，$f(x,y)\le g(x,y)$，则有：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

由于 $-|f(x,y)|\le f(x,y)\le |f(x,y)|$，则：

$$|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma |\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$$

5. 二重积分的估值

设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则有：

$$\begin{gathered} m\sigma \le \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M\sigma \\ \underset{D}{\iint }m\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }M\mathrm{d}\sigma \end{gathered}$$

6. 二重积分的中值定理

考纲摘要：了解二重积分的中值定理

设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$，使得：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma$$

7. 对称性 (极重要考试技巧)

• 奇偶对称性：若区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f(-x,y)=-f(x,y)$ (对 $x$ 为奇函数)，则 ${\iint }_{D}f\mathrm{d}\sigma =0$。若为偶函数，则等于一半区域积分的 2 倍。
• 轮换对称性：若区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)\mathrm{d}\sigma$。特别地，${\iint }_{D}x\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D}y\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D(x+y)\mathrm{d}\sigma$。

2. 二重积分的计算

考纲摘要：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

1. 区域 $D$ 的表示

一般而言，区域 $D$ 可以表示为：${\varphi }_1(x)\le y\le {\varphi }_2(x),a\le x\le b$ 能够这样表示的区域被称作 $X$ 型区域还有 $Y$ 型区域，可以表示为：${\varphi }_1(y)\le y\le {\varphi }_2(y),a\le y\le b$

显然，例如说对于 $X$ 型区域，其满足平行于 $y$ 轴的直线于这个区域的交点最多只有两个当然，一个区域并不一定是 $X$ 型区域或者 $Y$ 型区域，但是可以将其拆分成几个 $X$ 型区域或者 $Y$ 型区域

2. 利用直角坐标计算二重积分

考纲摘要：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

1. $X$ 型区域的情形

如果 $D$ 可以用 ${\varphi }_1(x)\le y\le {\varphi }_2(x),a\le x\le b$ 表示，那么可以写成以下等式：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x$$

也就是说，先把 $x$ 看作常数，求解中括号内的定积分，然后把求解出的结果看作是对 $x$ 的函数，再对这个函数进行定积分，即可求得结果。

此外，以上表达式还可以记作：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$

2. $Y$ 型区域的情形

如果 $D$ 可以用 ${\varphi }_1(y)\le x\le {\varphi }_2(y),a\le y\le b$ 表示，那么可以写成以下等式：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b[{\int }_{{\varphi }_1(y)}^{{\varphi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y$$

也就是说，先把 $y$ 看作常数，求解中括号内的定积分，然后把求解出的结果看作是对 $y$ 的函数，再对这个函数进行定积分，即可求得结果。

此外，以上表达式还可以记作：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}y{\int }_{{\varphi }_1(y)}^{{\varphi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

如果区域 $D$ 既是 $X$ 型区域又是 $Y$ 型区域，则按 $X$ 型区域计算的积分与按 $Y$ 型区域计算的积分相等

3. 例题

计算 $\underset{D}{\iint }x{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中，区域 $D$ 由 $y=x,x+y=1$ 及 $x$ 轴围成。

首先让我们画出它的积分区域：

当我们对这个区域任意做一个与 $x$ 轴平行的直线时，它与区域的边界分别交于 $A,B$ 点它们的纵坐标都是 $y$，因此 A(y,y),B(1-y,y)，因此积分式就可以写成：

$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_y^{1-y}x{y}^2\mathrm{d}x$$

而这就是一个 $Y$ 型区域的积分。因此，确认积分上下限其实很简单，甚至无需取寻找一个 ${\varphi }_1(y)<x<{\varphi }_2(y)$，只需做这样的与坐标轴平行的直线，然后用另一个坐标轴的变量表示出这条直线与边界的交点即可。

接下来让我们来计算这个积分：

$$\begin{gathered} {\int }_y^{1-y}x{y}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2{|}_y^{1-y}=\frac{1}{2}{y}^2[(1-y{)}^2-y^2]=\frac{1}{2}{y}^2-y^3 \\ {\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_y^{1-y}x{y}^2\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}{y}^2-y^3)\mathrm{d}y=\frac{1}{6}{y}^3-\frac{1}{4}{y}^4{|}_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{192} \end{gathered}$$

3. 利用极坐标计算二重积分

考纲摘要：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

普通二元函数的二重积分可以化为极坐标形式：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$$

同样可以按照一般的二重积分进行计算：

条件是 ${\varphi }_1(\theta )\le \rho \le {\varphi }_2(\theta ),\alpha \le \theta \le \beta$

$$\begin{array}{rl}& \underset{D}{\iint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\varphi }_1(\theta )}^{{\varphi }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \end{array}$$

4. 二重积分的换元法

设 $f(x,y)$ 是在 xOy 平面上的闭区域 $D$ 上连续，若变换：$T:x=x(u,v),y=y(u,v)$

将 uOv 平面上的闭区域 D' 变为 xOy 平面上的 $D$ ,且满足

• x(u,v),$y(u,v)$ 在 D' 上具有一阶连续偏导数

• 在 D' 上的雅可比式：

$$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\ne 0$$

• 变换 $T:D^{\prime }\to D$ 是一对一的，则有：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D^{\prime }}{\iint }f[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

这就是二重积分的换元公式

3. 三重积分

考纲摘要：理解三重积分的概念

1. 三重积分的概念

设 $f(x,y,z)$ 是空间有界闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 上的有界函数，将 $\mathrm{\Omega }$ 任意分为 $n$ 个小闭区域 $\mathrm{\Delta }{v}_1,\mathrm{\Delta }{v}_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{v}_n$

其中 $\mathrm{\Delta }{v}_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示其体积。在每个 $\mathrm{\Delta }{v}_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{v}_i,i=1,2,\dots ,n$ ，并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{v}_i$ 如果各个小闭区域 $\lambda \to 0$ 时，这个和的极限总存在，且与闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 的分发及点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 的取法无关那么称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 上的三重积分，记作 $\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v$，也就是：

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{v}_i$$

其中，$f(x,y,z)$ 叫做被积函数，$\mathrm{d}v$ 叫做体积元素，$\mathrm{\Omega }$ 叫做积分区域

2. 三重积分的计算

考纲摘要：会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）

计算三重积分可以把它转换成积分三次。以下是把三重积分化为积分三次的方法

1. 利用直角坐标计算三重积分

考纲摘要：会计算三重积分（直角坐标）

设区域 $\mathrm{\Omega }$ 的两个边界曲面为：

$$\begin{gathered} S_1:z=z_1(x,y) \\ {S}_2:z=z_2(x,y) \end{gathered}$$

此时，积分区域 $\mathrm{\Omega }$ 可以表示为： $\mathrm{\Omega }=\{(x,y,z)|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}$

这样，先把 $f(x,y,z)$ 看作 $z$ 的函数，然后对区间 $[z_1(x,y),z_2(x,y)]$ 进行积分，会得到一个二元函数 $F(x,y)$

$$F(x,y)={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

然后计算 $F(x,y)$ 在闭区域 $D_{xy}$ 上的二重积分即可。最终的计算公式为：

$\mathrm{\Omega }=\{(x,y,z)|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}$

$D_{xy}=\{(x,y)|y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\}$

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

2. 利用柱面坐标计算三重积分

考纲摘要：会计算三重积分（柱面坐标）

1. 柱面坐标的概念

设点 $M(x,y,z)$ 设 $M$ 在 xOy 面上的投影 $P$ 的极坐标为 $\rho ,\theta$

则 $\rho ,\theta ,z$ 叫做 $M$ 的柱面坐标

与直角坐标的关系：

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \\ z=z\end{array}$$

2. 计算三重积分

体积元素：$\mathrm{d}v=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$

有以下关系：

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$$

注意：需要界定 $\rho ,\theta ,z$ 的范围

3. 利用球面坐标计算三重积分

考纲摘要：会计算三重积分（球面坐标）

1. 球面坐标

设 $M(x,y,z)$ 是空间内一点，那么 $M$ 也可以用这样三个有次序的数 $r,\varphi ,\theta$ 来确定。

• $r$ 是原点 $O$ 到点 $M$ 的距离
• $\varphi$ 是向量 $\overrightarrow{OM}$ 与 $z$ 轴正向的夹角
• $\theta$ 是向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正向的夹角，$P$ 是 $M$ 在 xOy 面的投影

直角坐标与其对应的球面坐标的关系：

$$\begin{gathered} OP=r\sin \varphi \\ \{\begin{array}{l}x=OP\cos \theta =r\sin \varphi \cos \theta \\ y=OP\sin \theta =r\sin \varphi \sin \theta \\ z=r\cos \varphi \end{array} \end{gathered}$$

可以将 $\varphi$ 类比为人在上下调整视角，$\theta$ 类比为人在转圈，因此，$\varphi \in [0,\pi ],\theta \in [0,2\pi ]$ 即可观察到整个“周围”

2. 计算三重积分

体积元素：$\mathrm{d}v=r^2\sin \varphi \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$

有以下关系：

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi )r^2\sin \varphi \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$$

当然，需要界定 $r,\varphi ,\theta$ 的范围

4. 重积分的应用

1. 曲面的面积

如果曲面 $S$ 由方程 $z=f(x,y)$ 确定，要求其在闭区域 $D$ 下的面积 $A$

其面积元素为：

$$\mathrm{d}A=\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}\sigma$$

推导出曲面面积的计算公式：

$$A=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

曲面由参数方程确立的情形

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array},(u,v)\in D$$

需要满足

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}$$

不全为零，则曲面 $S$ 的面积为：

$$A=\underset{D}{\iint }\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

其中，

$$\begin{gathered} E=x_u^2+y_u^2+z_u^2 \\ F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v \\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{gathered}$$

定义 $\mathbf{r}=(x,y,z)$，则：

$$\mathrm{d}S=|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

记住这个就好。

2. 质心

设平面薄片上有 $n$ 个点，其坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$

则其质心坐标为：

$$\overline{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i},\overline{y}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}$$

设其在点 $(x,y)$ 的密度为 $\mu (x,y)$，则：

$$\begin{gathered} M_x=\underset{D}{\iint }x\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma ,M_y=\underset{D}{\iint }y\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma ,M=\underset{D}{\iint }\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma \\ \overline{x}=\frac{1}{M}\underset{D}{\iint }x\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma ,\overline{y}=\frac{1}{M}\underset{D}{\iint }y\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma \end{gathered}$$

同样地，对于一个物体，其质心也可以这样求：

$$\begin{gathered} \overline{x}=\frac{1}{M}\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }x\rho (x,y,z)\mathrm{d}v,\overline{y}=\frac{1}{M}\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }y\rho (x,y,z)\mathrm{d}v,\overline{z}=\frac{1}{M}\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }z\rho (x,y,z)\mathrm{d}v \\ M=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}v \end{gathered}$$

3. 转动惯量

设平面薄片上有 $n$ 个质点，其坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$，质量分别为 $m_1,m_2,\dots ,m_n$

那么，这个质点系对 $x$ 轴与对 $y$ 轴的转动惯量分别为：

$$I_x=\sum _{i=1}^n{y}_i^2{m}_i,I_y=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{m}_i$$

设点 $(x,y)$ 处的指点的密度为 $\mu (x,y)$，那么有：

$$I_x=\underset{D}{\iint }{y}^2\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma ,I_y=\underset{D}{\iint }{x}^2\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma$$

同样的，对于一个物体，其对 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的转动惯量为：

$$\begin{gathered} I_x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}\sigma \\ {I}_y=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(z^2+x^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}\sigma \\ {I}_z=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}\sigma \end{gathered}$$

4. 引力

空间一物体对某一质点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处单位质量的质点的引力设这个物体在 $(x,y,z)$ 处的密度为 $\rho (x,y,z)$ 则合力 $F$ 在三个坐标轴上的分量为：

$$\begin{gathered} F_x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }\frac{G\rho (x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v \\ {F}_y=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }\frac{G\rho (x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v \\ {F}_z=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }\frac{G\rho (x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v \end{gathered}$$

二、曲线积分

1. 第一类曲线积分

考纲摘要：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

第一类曲线积分问题举例：有一根曲线型构件，其质量并不是均匀的，但我们知道用来表示这跟曲线的方程，以及它的线密度函数，这样我们就可以利用第一类曲线积分来计算出它的质量了。

1. 第一类曲线积分的定义

设 $L$ 是 xOy 面的一条光滑曲线，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界（注意与区域 $D$ 的区别）把 $L$ 分为 $n$ 个小段，第 $i$ 个小段的长度为 $\mathrm{\Delta }{s}_i$，在第 $i$ 个小段上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ ，作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$，并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$ 设 $\lambda =MAX\{\mathrm{\Delta }{s}_i\}$ 当 $\lambda \to 0$ 时，这个极限总存在，且与 $n$ 个小段的取法与点的取法无关则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上对弧长的曲线积分或者第一类曲线积分

记作：

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$$

• $f(x,y)$ 称作被积函数
• $L$ 叫做积分弧段

如果 $L$ 是闭合曲线，则函数 $f(x,y)$ 在闭曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分记作 ${\oint }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$

2. 第一类曲线积分的性质

1. ${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s=\alpha {\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s+\beta {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$

2. 若积分弧段 $L$ 可分成两端光滑曲线弧 $L_1$, $L_2$，则有：

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$$

3. 如果在 $L$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则有：

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\le {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$$

4. $|{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s|\le {\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$

3. 第一类曲线积分的算法

考纲摘要：掌握计算两类曲线积分的方法

1. 基本情形

设 $L$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$$

如果 $\varphi (t),\psi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上具有一阶连续导数，且 ${\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^2(t)\ne 0$，则：

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t),\psi (t)]\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t,(\alpha <\beta )$$

2. $y=f(x)$ 的情形

如果 $L$ 由函数 $y=f(x),x\in [a,b]$ 确定，那么，实际上可以把 $L$ 的参数方程看成这个样子：

$$\{\begin{array}{l}x=x\\ y=f(x)\end{array}$$

这样一来可以得到以下式子：

$${\int }_{L}F(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}F(x,f(x))\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

3. 推广到三元函数、空间曲线的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array},(\alpha \le t\le \beta )$$

则有：

$${\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(x,y,z)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)+{\omega }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

推广到更一般化的情形：设 $n$ 维空间中的一条曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1={\varphi }_1(t)\\ ⋮\\ x_n={\varphi }_n(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$$

设 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 在 $\mathrm{\Gamma }$ 上有定义，则：

$${\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[{\varphi }_1(t),\dots ,{\varphi }_n(t)]\sqrt{\sum _{i=1}^n{\varphi }_i^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

2. 第二类曲线积分

考纲摘要：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

第二类曲线积分问题举例：平面上一个质点在 xOy 面受到的力可以表示为 $\mathbf{F}=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$，那么，这个质点沿着光滑曲线弧 $L$ 做的功可以用第二类曲线积分的方法进行求解

1. 第二类曲线积分的定义

设 $L$ 是 xOy 面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，函数 P(x,y),$Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界在 $L$ 上插入点 $M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\dots ,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$，把 $L$ 分为 $n$ 个有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{i-1}{M}_i}(i=1,2,\dots ,n;M_0=A,M_n=B)$ 设 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},\mathrm{\Delta }{y}_i=y_i-y_{i-1}$，点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 是 $\stackrel{⌢}{M_{i-1}{M}_i}$ 上的任一点，作乘积 $P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$，并作和 $\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ 设 $\lambda =MAX\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}$，当 $\lambda \to 0$ 时，$\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ 的极限总存在，且与曲线弧 $L$ 的分法与点的取法无关，则称此极限为函数 $P(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$ 同理，也有 ${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$

也就有：

$$\begin{gathered} {\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{d}x \\ {\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{d}y \end{gathered}$$

• P(x,y),$Q(x,y)$ 称作被积函数
• $L$ 叫做积分弧段

以上两个积分也称作第二类曲线积分

注意定义上与第一类曲线积分的区别

${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$ 就是所求的做功

也可以写成向量的形式：${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$，其中 $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}$

2. 第二类曲线积分的性质

1. ${\int }_L[\alpha {\mathbf{F}}_1(x,y)+\beta {\mathbf{F}}_2(x,y)]\mathrm{d}\mathbf{r}=\alpha {\int }_L{\mathbf{F}}_1(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}+\beta {\int }_L{\mathbf{F}}_2(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$

2. 如果把有向线段弧 $L$ 分为两段有向线段弧 $L_1,L_2$，则：

$${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{L_1}\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}+{\int }_{L_2}\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$$

3. 设 $L$ 的反向曲线弧是 $L^{-}$，则有：

$${\int }_{L^{-}}\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}=-{\int }_L\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$$

3. 第二类曲线积分的算法

考纲摘要：掌握计算两类曲线积分的方法

设 $L$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$

当参数 $t$ 单调地从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M(x,y)$ 从 $L$ 的起点 $A$ 沿着 $L$ 运动到终点 $B$，则：

$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)+Q[\varphi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t{\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]\mathrm{d}\varphi (t)={\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

可以看到，第二类曲线积分可以通过直接换元来计算

然后可以推广到空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的情形：

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array}$$

则参数 $t$ 单调地从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，就有：

$$\begin{gathered} {\int }_{\mathrm{\Gamma }}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z= \\ {\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]{\varphi }^{\prime }(t)+Q[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]{\psi }^{\prime }(t)+R[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]{\omega }^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t \end{gathered}$$

那为什么不可以推广到 $n$ 维曲线 $\mathrm{\Xi }$ 的情形呢？设 $\mathrm{\Xi }$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1={\varphi }_1(t)\\ ⋮\\ x_n={\varphi }_n(t)\end{array}$$

则 $t$ 单调地从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，就有：

$${\int }_{\mathrm{\Xi }}{P}_1(x_1,\dots x_n)\mathrm{d}{x}_1+\cdots +P_n(x_1,\dots x_n)\mathrm{d}{x}_n={\int }_{\alpha }^{\beta }\{\sum _{i=1}^n{P}_i[{\varphi }_1(t),\dots ,{\varphi }_n(t)]{\varphi }_i^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t$$

4. 两类曲线积分的关系

其实我觉得两类曲线积分都有点像“换元法”因为它是用积分路径进行积分的，所以需要写出路径的参数方程，然后利用参数 $t$ 的范围来界定积分的范围。

参数方程显然也是描述了 $x,y$ 与 $t$ 的关系，那么直接把对应的 $x,y$ 给替换成含 $t$ 的函数即可。而第一类曲线积分的 $\mathrm{d}s$ 可以看作是一个比较特殊的微分 $\mathrm{d}s=\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$ 实际上在我看来：

$$\begin{gathered} \mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}=\sqrt{\mathrm{d}\varphi (t{)}^2+\mathrm{d}\psi (t{)}^2}= \\ \sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)\mathrm{d}{t}^2+{\psi }^{\prime 2}(t)\mathrm{d}{t}^2}=\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t \end{gathered}$$

3. 格林公式及其应用

考纲摘要：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

1. 格林公式的基本概念

设 $D$ 为平面区域，若 $D$ 内任意闭曲线所围的部分都属于 $D$ 则称 $D$ 为平面单连通区域，否则称作复连通区域 单连通区域举例： $\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$（圆形区域）复连通区域举例：$\{(x,y)|1<x^2+y^2<4\}$ （圆环形区域）

格林公式揭示了平面闭区域 $D$ 上的二重积分与闭区域 $D$ 的边界曲线 $L$ 上的曲线积分的关系。因此，需要定义边界曲线的方向：当观察者沿着边界曲线 $L$ 的某一方向走的时候，如果区域的内部总在观察者的左侧，则观察者行走的方向就是正方向例如：对于一个圆形的单连通区域，边界曲线的逆时针方向就是正方向。

格林公式如下：设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ （取正向的边界曲线）围成，如果函数 P (x,y) 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有：

$$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

注意：前面是 $Q$ 对 $x$、$P$ 对 $y$ 的偏导数相减后面则是 $P$ 对 $x$、$Q$ 对 $y$ 的第二类曲线积分相加在使用格林公式时，应该小心混淆

在利用格林公式时，可以把前者转换成后者，也可以把后者转换成前者。

为了方便思维，也可以把对应的 $Q(x,y)$ 和 $P(x,y)$ 给写出来

注意：这里 $Q(x,y)$ 和 $P(x,y)$ 硬凑出来也没问题。例如：

$$\underset{D}{\iint }{e}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

这个时候，令 $Q(x,y)=x{e}^{-y^2},P(x,y)=0$，就可以满足：

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{-y^2}$$

然后就可以利用格林公式得到：

$$\underset{D}{\iint }{e}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}x{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$$

格林公式描述了对区域 $D$ 的二重积分与对区域 $D$ 的边界曲线 $L$ 的曲线积分的关系

2. 平面上曲线积分与路径无关的条件

考纲摘要：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

1. 平面上曲线积分与路径无关的概念

考虑第二类曲线积分，如果：设曲线 $L_1$ 与 $L_2$ 的出发点与结束点相同，都在同一个区域 $G$ 中，且满足以下关系：

$${\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

则称曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内是路径无关的，否则称之为路径有关

这里的物理学实例有：电场、重力场等的做功与物体运动路径无关 也就是所谓势场的概念

如果一个这样一个曲线积分是路径无关的，还可以有以下推论：

对于 $G$ 内的任意闭曲线 $C$，总有：

$${\oint }_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$$

2. 平面上的曲线积分与路径无关的充要条件

设区域 $G$ 但是一个单连通区域如果函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内路径无关的充要条件为：

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

在 $G$ 内恒成立。

一个有趣的例题如下：计算

$${\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$$

其中，$L$ 是一条不经过原点、无重复点、分段光滑的连续闭曲线。

可以令

$$P=\frac{-y}{x^2+y^2},Q=\frac{x}{x^2+y^2}$$

如果 $L$ 所围成的区域 $D$ 并不包含原点，由于

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

由于区域 $D$ 并不包含 $(0,0)$ 点，因此 $P,Q$ 在 $D$ 上都具有一阶连续偏导数满足了平面上曲线积分与路径无关的充要条件，因此此时所求的积分值为 0

但如果区域 $D$ 包含 $(0,0)$ 点，则需要另作讨论。设有一条闭合曲线 $l$，它是以 $(0,0)$ 点为圆心，半径为 $r$ 的圆同时，$l$ 所围成的区域 $D_1\subset D$，那么就存在以下关系：

$$\begin{gathered} {\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}-{\oint }_l\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}=0 \\ {\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}={\oint }_l\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2} \end{gathered}$$

这是因为，从区域 $D$ “挖去” 区域 $D_1$ 后，又可以被切割为多个以闭合曲线为边界的区域，而每个区域的积分都是 0 因此问题被转为了求对 $l$ 的积分。

设：

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \\ y=-r\cos \theta \end{array},\theta \in [0,2\pi ]$$

则：

$${\oint }_l\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}={\int }_0^{2\pi }\frac{r^2\sin \theta +r^2{\cos }^2\theta }{r^2}\mathrm{d}\theta =2\pi$$

可以看到，到了最后积分的结果与 $r$ 的选取也是无关的

3. 二元函数的全微分求积

考纲摘要：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

这里要解决的是这样的问题：对于函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$，表达式 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 是否是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分。如果是，如何求出这样的函数 $u(x,y)$

1. 具有 $u(x,y)$ 的充要条件

设区域 $G$ 是一个单连通区域，如果函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数则 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内是某一个函数 $u(x,y)$ 的全微分的充要条件为：

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

在 $G$ 内恒成立。

这是因为，如果有一个 $\mathrm{d}u=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$，那么：

$$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y) \\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \end{gathered}$$

同时，根据全微分存在的条件，这个二阶偏导数必须是连续的。

可以看到，具有这样的 $u(x,y)$ 的条件就是路径无关的条件，因此，有以下推论：设区域 $G$ 是一个单连通区域，如果函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关的充要条件是：在 $G$ 内存在函数 $u(x,y)$ ，使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$

2. $u(x,y)$ 的公式

$$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$

如何理解 ${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}$ ?

我们知道，存在 $u$ 的充要条件就是在这个区域里曲线积分与路径无关

这里 $(x_0,y_0)$ 的选取应该是这个区域里的任意点。

设 $L$ 是从 $(x_0,y_0)$ 到 $(x,y)$ 的线段，那么 ${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}$ 可以当成 ${\int }_L$ 来计算。

当然，由于路径无关，也可以把 $u$ 当成路径为折线的积分进行计算。当然前提是折线都在区域的包含范围内。

两种方案：

$$\begin{gathered} u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y \\ u(x,y)={\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,y)\mathrm{d}y+{\int }_{x_0}^{x}P(x,y)\mathrm{d}xx \end{gathered}$$

三、曲面积分

1. 第一类曲面积分

考纲摘要：了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计当算两类曲面积分的方法

1. 第一类曲面积分的定义

设有光滑曲面 $\mathrm{\Sigma }$ ，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Sigma }$ 上有界。把 $\mathrm{\Sigma }$ 任意分成 $n$ 个小块 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ ，设 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 是 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ 上的任一点作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$ 并作和 $\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$ 如果在各个小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$ ，这个和的极限总存在，且与曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 与每个小曲面上点的取法无关则称极限 $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$ 为 函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上对面积的曲面积分或 第一类曲面积分 记作：

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$$

其中 $f(x,y,z)$ 称作被积函数，$\mathrm{\Sigma }$ 称作积分曲面

第一类曲面积分可用于计算薄片的质量。也就是当 $f(x,y,z)$ 表示面密度的时候。这与第一类曲线积分的物理背景：线密度十分相似

此外，第一类曲面积分也具有曲线积分的一些“理所当然”的性质，这里不再赘述。

2. 第一类曲面积分的算法

设曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 可以由方程 $z=z(x,y)$ 来确定，则曲面积分与某个二重积分相等：

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中 $D_{xy}$ 是曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 在 xOy 平面上的投影，这就是其对应的二重积分的积分区域

2. 第二类曲面积分

考纲摘要：了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计当算两类曲面积分的方法

1. 有向曲面

1. 曲面的”侧“的定义

一般而言，曲面是双侧的。例如一个半球面有"上侧"和"下侧"，又例如一个闭合球面有"外侧"和"内侧" 可以用法向量 $\mathbf{n}$ 来选取曲面的侧，选定了这样的法向量的曲面就称之为有向曲面

2. $\mathrm{\Delta }S$ 投影的取法

在曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上取一小块曲面 $\mathrm{\Delta }S$ ，把 $\mathrm{\Delta }S$ 投影到 xOy 面上得到一个投影区域 $(\mathrm{\Delta }\sigma {)}_{xy}$ 假定 $\mathrm{\Delta }S$ 上每个点上的的法向量与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 的余弦值的正负都相等，则：规定 $\mathrm{\Delta }S$ 在 xOy 面上的投影 $(\mathrm{\Delta }S{)}_{xy}$ 为：

$$(\mathrm{\Delta }S{)}_{xy}=\{\begin{array}{ll}(\mathrm{\Delta }\sigma {)}_{xy},& \cos \gamma >0\\ -(\mathrm{\Delta }\sigma {)}_{xy},& \cos \gamma <0\\ 0,& \cos \gamma \equiv 0\end{array}$$

这里其实也是按照“侧”来分界定投影的正负性

这里的法向量，是人为选取的

3. 物理情景举例

流向曲面的一侧的流量，设水的速度场为 $\mathbf{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$， $\mathrm{\Sigma }$ 是速度场中的有向曲面，$P,Q,R$ 都在 $\mathrm{\Sigma }$ 上连续，计算流量 $\mathrm{\Phi }$

$$\mathrm{\Phi }=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$$

对于一个平面闭平面，其面积为 $A$ ，流体速度为 $\mathbf{v}$ ，闭曲面的单位法向量为 $\mathbf{n}$，则通过这个闭平面的流量可以表示为一个斜柱体，其体积为 $A\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}$，这就是通过这个闭平面的流量。

而对于曲面 $\mathrm{\Sigma }$，将其分为 $n$ 个小闭曲面，这些小闭曲面可以近似看作闭平面进行处理。对于第 $i$ 个小闭曲面，其流速：

$${\mathbf{v}}_i=P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathbf{i}+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathbf{j}+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathbf{k}$$

其法向量：

$${\mathbf{n}}_i=\cos {\alpha }_i\mathbf{i}+\cos {\beta }_i\mathbf{j}+\cos {\gamma }_i\mathbf{k}$$

因此，

$$\begin{gathered} \mathrm{\Phi }\approx \sum _{i=1}^n{\mathbf{v}}_i{\mathbf{n}}_i\mathrm{\Delta }{S}_i= \\ \sum _{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\cos {\alpha }_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\cos {\beta }_i+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\cos {\gamma }_i]\mathrm{\Delta }{S}_i \end{gathered}$$

根据之前定义的投影，有：

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }{S}_i\cos {\alpha }_i=(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{yz} \\ \mathrm{\Delta }{S}_i\cos {\beta }_i=(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xz} \\ \mathrm{\Delta }{S}_i\cos {\gamma }_i=(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy} \end{gathered}$$

因此：

$$\mathrm{\Phi }\approx \sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{yz}+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xz}+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$$

2. 第二类曲面积分的定义

设 $\mathrm{\Sigma }$ 是光滑有向曲面，函数 $R(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Sigma }$ 上有界。把 $\mathrm{\Sigma }$ 任意分成 $n$ 个小曲面 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ ，$\mathrm{\Delta }{S}_i$ 在 xOy 面上的投影为 $(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$ $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 是 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ 上的任意一点，作乘积 $R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$，并作和 $\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$ 如果当各个小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和的极限总存在与 $\mathrm{\Sigma }$ 的分发与点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 的取法无关，

则称这个极限为 $R(x,y,z)$ 在有向曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上对坐标 $x,y$ 的曲面积分，记为：

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$$

其中 $R(x,y,z)$ 叫做被积函数，$\mathrm{\Sigma }$ 叫做积分曲面

也有对坐标 $y,z$ 以及对坐标 $x,z$ 的曲面积分

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

这三个曲面积分也称为第二类曲面积分

两个基本性质：

上下侧的积分互为相反数

积分区域的拼合也可以看作积分值的相加

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3. 第二类曲面积分的算法

设积分曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 是 $z=z(x,y)$ 给出的曲面上侧，$\mathrm{\Sigma }$ 在 xOy 面上的投影区域为 $D_{xy}$

则：

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D_{xy}}{\iint }R[x,y,z(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

第二类曲面积分可以这个样子转化成二重积分进行计算。

3. 高斯公式及其应用

考纲摘要：掌握用高斯公式计算曲面积分的方法

1. 高斯公式

设空间闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 是由分片光滑的闭曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 所围成如果函数 2P (x,y,z),Q(x,y,z),$R(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 上具有一阶连续偏导数，则有：

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\text{∯}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}y+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

或者：

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\text{∯}}(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S$$

这里的 $\mathrm{\Sigma }$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 的整个边界曲面的外侧，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 在点 $(x,y,z)$ 处的法向量的方向余弦，这就是高斯公式

格林公式描述了一个区域中的二重积分与 以这个区域的边界曲线为积分限的一个曲线积分之间的关系高斯公式描述了一个区域中的三重积分与 以这个区域的边界曲面为积分限的一个曲面积分之间的关系

利用高斯公式解题的步骤和利用格林公式类似先把对应的这些函数、区域等给表达出来，然后再进行计算

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2. 沿任意闭曲面的曲线积分为零的条件

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

与路径无关，则：

$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$$

且如果是闭合曲面，则积分为0

3. 通量与散度

考纲摘要：了解散度与旋度的概念，并会计算

1. 通量的定义

通量（Flux）是描述场在某一方向上的流量，它通过给定曲面的多少用曲面积分来表示。

设 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 是一个定义在区域 $\mathrm{\Omega }$ 上的光滑向量场，$\mathrm{\Sigma }$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 的边界曲面，$\mathbf{n}$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 上的单位外法向量。向量场 $\mathbf{F}$ 通过曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的通量定义为：

$$\mathrm{\Phi }=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\text{∯}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$$

其中 $\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma$，表示向量场 $\mathbf{F}$ 在法向量方向的投影。

通量直观上可以理解为向量场在给定曲面上穿过的“总流量”。

2. 散度的定义

散度（Divergence）是描述向量场在某一点的源或汇的强度。对于定义在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，其散度定义为：

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

散度是一个标量函数，它在向量场中每一点的值表示该点是“源”还是“汇”及其强度。

3. 高斯散度定理

高斯散度定理，也称为高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式，建立了区域内散度与该区域边界上通量之间的联系。它表明，给定一个光滑的有界闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 及其边界 $\mathrm{\Sigma }$，则有：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\mathbf{F}\mathrm{d}V=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\text{∯}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$$

这意味着，区域 $\mathrm{\Omega }$ 内的散度积分等于 $\mathrm{\Omega }$ 边界 $\mathrm{\Sigma }$ 上向量场 $\mathbf{F}$ 的通量。

4. 散度的几何意义

• 正散度 表示在该点向外“发散”，意味着有“源”的存在。
• 负散度 表示在该点向内“汇聚”，意味着有“汇”的存在。
• 零散度 表示在该点没有净的源或汇，即“质量守恒”。

4. 高斯公式的应用

1. 计算通量

通过高斯散度定理，可以将复杂的曲面积分简化为区域内的三重积分。常见的应用包括在流体力学、电场和重力场中计算通量。

2. 验证向量场是否为无源场

根据高斯公式，如果一个向量场 $\mathbf{F}$ 满足 $\mathrm{div}\mathbf{F}=0$，则在闭合区域内的总通量为零，即：

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\text{∯}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S=0$$

这种场称为“无源场”或“无散场”。

4. 斯托克斯公式及其应用

考纲摘要：并会用斯托克斯公式计算曲线积分

1. 斯托克斯公式

设 $\mathrm{\Gamma }$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\mathrm{\Sigma }$ 是以 $\mathrm{\Gamma }$ 为边界的分片光滑的有向曲面 $\mathrm{\Gamma }$ 的正向与 $\mathrm{\Sigma }$ 的侧符合当右手除拇指外的四指依 $\mathrm{\Gamma }$ 的绕行方向时，拇指所指的方向与 $\mathrm{\Sigma }$ 上法向量的指向相同】若函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),$R(x,y,z)$ 在曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上具有一阶偏导数，则有：

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$$

这就是斯托克斯公式，还有一种形式如下所示：

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}\mathrm{d}S={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\mathbf{F}\mathrm{d}\mathbf{r}$$

2. 空间曲线积分与路径无关的条件

设 $\mathrm{\Omega }$ 为空间一维单连通区域，$P,Q,R$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 内具有一阶连续偏导数，则以下四条等价：

1. 曲线积分 ${\int }_{\mathrm{\Gamma }}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 内与路径无关；
2. 沿 $\mathrm{\Omega }$ 内任意闭曲线的曲线积分为零；
3. 存在函数 $u(x,y,z)$ 使 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$；
4. 在 $\mathrm{\Omega }$ 内处处有 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=\mathbf{0}$，即

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$$

这是平面情形（格林公式中 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$）在空间的推广。

3. 环流量与旋度

考纲摘要：了解散度与旋度的概念，并会计算

$\mathrm{\nabla }$ 算子：

$$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$$

设向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，则其旋度为：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$$

实际上相当于与 $\mathrm{\nabla }$ 算子进行了向量积

散度则定义为：

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

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5. 重难点提示

高斯公式补面时的符号陷阱

高斯公式要求曲面取外侧（闭合曲面的法向量指向外侧）。若题目给出的曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 是不封闭的，需要补全封闭曲面后使用高斯公式，再减去所补曲面的积分：

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}=\underset{\mathrm{\Sigma }+{\mathrm{\Sigma }}_0}{\text{∯}}-{\iint }_{{\mathrm{\Sigma }}_0}$$

常见错误：补面法向量方向取错（未取外侧），以及补面后忘记减去补的曲面积分。

泰勒展开阶数不足

求极限或级数展开时，若分母为 $x^n$，而分子中各项因加减相消导致最高阶不够，往往得到错误的 $0$ 或 $\mathrm{\infty }$。

原则：相减时务必展开到同阶，不能提前截断。

例：求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$，分子需展开到 $x^3$ 项才能得到正确结果 $\frac{1}{2}$。