考研数学（一）高等数学 —— 知识库总览

本资料库汇集了考研数学（一）中《高等数学》科目的全部核心知识点，涵盖函数极限连续、一元微积分、多元微积分、无穷级数、常微分方程等九大章节。

📂 理论模块

01 预备知识与基础公式：三角函数公式、乘法公式、等价无穷小大全、基本不等式及导数与积分的前置基础。
02 函数、极限、连续：极限定义与三大性质，七种未定式计算、泰勒展开核心运用、间断点类型。
03 一元函数微分学：导数计算、中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒）、导数的几何与物理应用。
04 一元函数积分学：积分基本表、分部与换元法大集结、广义积分的敛散性判定及各类几何物理应用。
05 向量代数与空间解析几何：空间直角坐标系、向量的点积和叉积、平面与直线方程及各种空间曲面模型。
06 多元函数微分学：偏导数全微分计算、梯度与方向导数、无条件与条件极值判断。
07 多元函数积分学：重积分不同坐标系计算、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及曲线曲面积分类比记忆。
08 无穷级数：正项/交错级数敛散性五大判别法、幂级数操作收敛域求法及函数麦克劳林/傅里叶展开。
09 常微分方程：一阶全微分/分离变量，二阶常系数齐次及非齐次特征方程法大全。

🎯 提分与回顾

00 考研高数一科目大纲与总览：各章节考试要求，明确宏观结构和必考方向（基于历年最新大纲）。

分值分布（高数约 82 分，占数一半壁江山）：极限、一元与多元积分学、级数、微分方程均为大题常客；多元积分学（三大公式）是难点集中区。

必背速查

主题	一句话结论
等价无穷小（ $x \to 0$ ）	$\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1 \sim x$
高阶等价	$x - \sin x \sim \frac{x^{3}}{6}$ ， $1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ ， $\tan x - x \sim \frac{x^{3}}{3}$
洛必达前提	必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ，且求导后极限存在或为 $\infty$
可导与连续	可导 $\Rightarrow$ 连续；连续 $⇏$ 可导
中值定理选择	一个中值点用拉格朗日；两个用柯西或两次拉格朗日；带高阶导用泰勒
$p$ 级数	$\sum 1 / n^{p}$ ： $p > 1$ 收敛， $p \leq 1$ 发散
反常积分	$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{p}}$ ： $p > 1$ 收敛； $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{p}}$ ： $p < 1$ 收敛
三大公式	格林（平面闭曲线）、高斯（闭曲面）、斯托克斯（空间闭曲线）
二阶常系数非齐次	特解形式看 $λ$ 是否为特征根，是则乘 $x^{k}$

高频易错

用等价无穷小替换只能用于乘除，加减中替换会出错（需用泰勒）。
$\sqrt{u^{2}} = | u |$ ，换元去根号时漏绝对值是经典失分点。
分段函数在分界点求导必须用定义，不能分别求导后代入。
反常积分与定积分的换元，注意上下限是否同时变号。
用格林 / 高斯公式前必须检查是否封闭、是否有奇点，不闭要补线补面。
幂级数收敛域别忘了单独讨论端点。
条件极值用拉格朗日乘数法后，还需比较边界值才能定最值。